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1、,第四章 三角函数,第29课 三角函数模型及其应用,课 前 热 身,激活思维,1 s,2. (必修4P45习题10改编)设某人的血压满足函数式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数是_,80,3. (必修4P42例1改编)如图显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：m)在某天24小时的变化情况，则水面高度h关于从夜间0时开始的时刻t的函数关系式为_,4. (必修4P45习题9改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I10sin(100t)10(t0,0.01)，则当电流强度为15 A时
2、，t_s.,5. (必修4P45习题10改编)一根长为l的线，一端固定，另外一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的关系为sAsin(t)(A0，0)，且小球连续三次位移为b(0bA)的时间分别为1 s，2 s，4 s，则小球摆动到最大位移的时间为_s.,1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤 (1) 阅读理解，审清题意； (2) 创设变量，构建模型； (3) 计算推理，解决模型； (4) 结合实际，检验作答 2. 三角函数模型的主要应用 (1) 在解决物理问题中的应用； (2) 在解决测量问题中的应用； (3) 在解决航海问题中的应用,知识
3、梳理,课 堂 导 学,与三角函数模型有关的应用问题,例 1,(2) 求小球开始振动的位置； (3) 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置；,(4) 经过多长时间，小球往返振动一次？ 【解答】周期T3.14， 即每经过约3.14 s小球往返振动一次 (5) 每秒钟内小球能往返振动多少次？,【精要点评】此类题目属于正弦曲线在运动学中的应用，解答此类题目的关键在于利用已知条件作出函数图象，然后借助数形结合的思想，结合必要的物理学知识加以分析解决,(变式),变式,【思维引导】电流与时间的关系符合形如yAsin(x)的函数模型 【精要点评】电流强度的最大值和最小值，就是电流函数IAsin( t)
4、的最大值和最小值,如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面之间的距离为0.8 m，60 s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB.设点B与地面距离为h. (1) 求h与之间的函数解析式；,例 2,(2) 设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式,【思维引导】本题考查三角函数的定义，以及建立函数模型的能力把点B的高度进行分解，从而列出函数关系式 【精要点评】通过图形的构造正确使用三角函数的定义，以及数形转化的思想方法,下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表 (1) 以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，描出这些
5、数据的散点图；,变式,(2) 确定一个满足这些数据的形如yAcos(x)t的函数； 【解答】由散点图知白昼时间与日期序号之间的关系近似为yAcos(x)t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即ymax19.4，ymin5.4. 因为19.45.414，所以A7. 由19.45.424.82t，得t12.4.,(3) 用(2)中的函数模型估计该地7月3日的白昼时间 【解答】7月3日即x184，y19.4，故该地7月3日的白昼时间约为19.4 h. 【思维引导】解答本题可先作出散点图，然后把yAcos(x)t结合图象求出A，的值，最后利用函数模型求7月3日的白昼时间 【精要点评】本题
6、需要根据条件建立拟合函数，要由散点图猜测可能用到的函数形式,运用三角知识解决实际问题,例 3,【精要点评】要能选择合理的变量来表示其他量，同时要注意角的范围对运算结果的影响,(2016如皋月考)如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数yAsin(x)(A0，0,0)，x4,0时的图象且最高点为B(1,4)，在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧 (1) 试确定A，和的值,(变式),变式,(2) 现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO(长度单位：m)，在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/m)，从点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1
7、万元/m)设DCO(单位：rad)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度),(2016盐城三模)一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得EAF45. 如图(1)，现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？,备用例题,(备用例题(1),【解
8、答】方法一：设阴影部分的面积为S，三个区域的总投入为T， 则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可,方法二：设阴影部分的面积为S，三个区域的总投入为T， 则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可 如图(2)，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xAy.,(备用例题(2),设直线AE的方程为ykx(0k1)，即ktanEAB，因为EAF45，,方法三：设阴影部分的面积为S，三个区域的总投入为T， 则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可,课 堂 评 价,丙,【解析】如图，设
9、前三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，,4. 如图，有一个半径为3 m的水轮，水轮的圆心O距离水面2 m，若水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系yAsin(x)2(0，A0)，则_，A_.,3,又因为ymin7，ymax13，,(2) 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离开港所用的时间) 【解答】由题意知，水深y4.57，,所以t1,5或t13,17， 所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16 h.,
