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1、第8节 函数与方程,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.函数的零点是函数图象与x轴交点吗? 提示:函数的零点不是点,而是使函数值为0的值,也就是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,是否一定有f(a)f(b)0. 3.函数y=f(x)在a,b上图象是连续不断的、单调的,且f(a)f(b)0,那么它在a,b上有多少个零点? 提示:只有1个零点.,知识梳理,1.函数的零点,f(x)=0,实数根,x轴,零点,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,【拓展提升】 1.若函数y=
2、f(x)在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在a,b上单调时,它仅有一个零点. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图所示,所以f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.,对点自测,A,B,3.给出下列命题: 函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0); 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一定有f(a)f(b)0; 二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点
3、; 若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. 其中正确的序号是 .,解析:错误,函数f(x)=x2-1的零点为-1和1,而并非其与x轴的交点(-1,0)与(1,0).错误.函数f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)f(2)0.正确.当b2-4ac0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函数没有零点.错误. 答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,函数零点所在区间,【例1】 (1)导学号 18702080 函数f(x)=( )x-x+2的零点所在的一个区间是( ) (A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1
4、,2) (D)(2,3),(2)(2016天津市和平区高三第四次模拟)设函数y=log2x-1与y=22-x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4),(1)函数y=f(x)-g(x)有零点函数y=f(x)-g(x)与x轴有交点方程f(x)-g(x)=0有根函数y=f(x)与y=g(x)的图象有交点. (2)函数零点所在区间的判定方法 端点函数值异号判断法; 图象交点法:画出两函数y=f(x),y=g(x)的图象,其交点的横坐标是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点,以此来判断函数零点所在区间. 转化法:方程
5、f(x)-g(x)=0的根就是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点.,反思归纳,解析:(1)f(1)0,且函数是增函数,故有唯一零点.故选B. (2)令f(x)=ln x+x-4, 则f(x)在(0,+)上是增函数且连续不间断. 因f(1)=ln 1+1-40, 故x0(2,3), 故选C.,【即时训练】 (1)函数f(x)=2x+log2x-3在区间(1,2)内的零点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)设x0是方程ln x+x=4的解,则x0属于区间( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4),考点二,函数零点的求法及零点个数的判断
6、,解析:(1)当x0时,x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3, 则x(-,0时函数有一个零点; 当x0时,-2+ln x=0, 解得x=e2, 则x(0,+)时有一个零点, 所以f(x)共有2个零点, 即方程有2个根.故选B. 答案:(1)B,解析:(2)f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,则函数的零点即为函数y=sin 2x与函数y=x2图象的交点,画图知(图略),两图象有2个交点,则函数有2个零点. 答案:(2)2,函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,若能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)函数f(x)的图象在区间a,b上是连续不断的曲
7、线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的具体图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)数形结合法:将已知函数转化为两个函数图象易作出的函数,画出两个函数的图象,看其交点的个数,有几个交点,就有几个零点.一般地,涉及三角函数、指、对数函数有关的函数零点个数常用数形结合法.,反思归纳,(2)函数f(x)=x2+ln |x|的零点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,(2)在同一直角坐标系内作出y=ln |x|,y=-x2的图象,如图,可知两函数图象有两个交点,即函数f(x)=x2+ln |x|有两个零点.故选B.,考查角度1:根据已知函数的零点或方程的根所
8、在区间求参数范围,考点三,函数零点的应用,解析:函数f(x)在(1,2)内单调,结合条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a) (4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.故选C.,根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围,先判断函数的单调性,再利用零点存在性定理,建立参数所满足的不等式,解不等式,即得参数的取值范围.,反思归纳,考查角度2:已知函数零点或方程根的个数,求参数范围,答案:(0,1),(1)已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围,先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,数形结合求解. (2)形如g(x)=f(x)-m的零点问题可转化为f(x)
9、=m求解.,反思归纳,考查角度3:根据函数零点个数,综合运用函数性质求参数范围 【例5】 导学号 18702083已知f(x)对任意x0,+)都有f(x+1)=-f(x),且当x0,1)时,f(x)=x,若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(0a1)在区间0,4上有两个零点,则实数a的取值范围是( ),涉及函数周期性、奇偶性以及根据函数零点个数求参数的综合问题时,可根据题目特征,作出满足题意的函数图象,利用数形结合思想求解.,反思归纳,考查角度4:根据函数性质求函数多个零点(方程根)的和,求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,应考虑函数的性质,尤
10、其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称,直线的对称等).,反思归纳,备选例题,【例1】 已知函数f(x)= 则当k0时,函数y=ff(x)+1的零点个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【例2】 若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( ) (A)y=f(-x)ex-1 (B)y=f(x)e-x+1 (C)y=f(x)ex-1 (D)y=f(x)ex+1,解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,当m1时直线y=m与f(x)的图象有两个交点,当m1时直线y=m与f(x)的图象有一个交点,题意要求方程f
11、2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则方程m2+m+t=0必有两不等实根,且一根小于1,一根不小于1,当1+1+t=0,即t=-2时,方程m2+ m-2=0的两根为1和-2,符合题意,当1+1+t0,即t-2时,方程m2+m+t=0有两不等实根,且一根小于1,一根大于1,符合题意,综上有t-2.故 选A.,【例3】 已知实数f(x)= 若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t的取值范围为( ) (A)(-,-2 (B)1,+) (C)-2,1 (D)(-,-21,+),函数图象不准确而致误,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,【典例】 已知函数f(x)= 若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( ) (A)(1,3) (B)(0,3) (C)(0,2) (D)(0,1),解析:画出函数f(x)的图象如图所示, 观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0a1.故选D.,易错提醒:(1)已知方程根的个数求参数的取值范围时,常转化为两函数图象交点个数问题,转化过程中,尽可能使函数图象便于画出. (2)画函数图象时一定要准确,图象所过的定点、最高点、最低点以及走向趋势弄清楚,若作图不规范可能会导致参数取值范围求错.,
