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1、第5节 对数函数,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.是不是所有实数都有对数? 提示:零和负数没有对数,即真数大于零. 2.是否任意指数式都可以转化为对数式? 提示:不是.只有在指数式的底数大于0且不等于1的情况下,指数式才能化为对数式. 3.如图是对数函数y=logax;y=logbx;y=logcx;y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是什么? 提示:图中直线y=1与各图象交点的横坐标即为它们各自底数的值,即0ab1cd.,知识梳理,1.对数,ax=N,logaN,底数,真数,logaN=x,零,0,1,1
2、,N,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,2.对数函数的概念、图象与性质,3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数,它们的图象关于直线 对称.,y=logax,(0,+),R,(1,0),1,0,增,减,y=x,对点自测,1.log42-log48等于( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2,B,2.若函数y=f(x)是y=3x的反函数,则函数y=f(x+1)的大致图象是( ),C,解析:由于y=3x的反函数是f(x)=log3x.故y=f(x+1)=log3(x+1),易知图象过原点且为增
3、函数,选C.,A,B,5.函数f(x)=1+loga(2x-3)(a0且a1)必过定点 .,解析:令2x-3=1得x=2,当x=2时,f(2)=1. 因此函数f(x)必过定点(2,1). 答案:(2,1),考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,对数的基本运算,【例1】 (1)lg 52+ lg 8+lg 5lg 20+lg2 2等于( ) (A)1 (B)3lg 2-lg 5 (C)3 (D)3lg 5-lg 2,解析:(1)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+lg2 2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=3.
4、选C. 答案:(1)C,答案:(2)A,(1)利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法: 一是“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和.由于某些对数能相互抵消,使所给对数式得到了化简;二是“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数. (2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中底数不同的对数利用换底公式化为已知对数式的底数为底的对数表示. (3)幂值相等的指数式问题,求解时可利用指、对数式的互化转化为对数式求解. (4)形如(a0且a1,N0)的式子可以直接用对数恒等式求解.,反思归纳,答案:(1)A (2)A,考点二,对数函数的图象
5、及应用,【例2】 (1)已知lg a+lg b=0(a0且a1,b0且b1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( ),(2)关于函数f(x)=|ln|2-x|,下列描述正确的有( ) 函数f(x)在区间(1,2)上单调递增;函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;若x1x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4;函数f(x)有且仅有两个零点. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,解析:(2)y=ln|2-x|= 函数f(x)=|ln|2-x|的图象如图所示: 由图可得:函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,正确;函数y=f(x)的图象关于直线x=2
6、对称,正确;当x1x2时,由f(x1)=f(x2),不一定得到x1+x2=4.故错误;函数f(x)有且仅有两个零点,正确.故正确的描述有3个,故选C.,(1)函数y=loga|x|(a0且a1)是偶函数.可先画出x0时,y=logax的图象,再作该图象关于y轴的对称图象,y=loga|x+k|可利用y=loga|x|图象进行平移而得到,而y=|logax|可将y=logax在x轴下方部分翻折到上方而得到. (2)在研究对数型方程、不等式问题时,常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合法求解.,反思归纳,【即时训练】 (1)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( ),解析:(1)由题意知
7、:|x|-10,即x1或x1或x1时,f(x)=lg(x-1)单调递增, 则当x-1时,函数单调递减,故选B.,(2)(2016浙江杭州一模)设函数f(x)=|ln x|,满足f(a)=f(b)(ab),则( ) (A)ab=ex (B)ab=e (C)ab= (D)ab=1,解析:(2)作出函数f(x)的图象如图所示,若f(a)=f(b)(ab), 则设a1, 即|ln a|=|ln b|, 则-ln a=ln b, 则ln a+ln b=ln(ab)=0, 即ab=1,故选D.,考点三,对数函数性质及其应用(高频考点),解析:因为log232=5, 所以f(0)+f(log232)=log
8、24+f(5)=2+1+25-1=19.选A.,考查角度1:分段函数求值 高考扫描:2015高考新课标全国卷.,求解与分段函数有关的求值问题,应根据自变量的值的范围选择解析式,涉及对数值的范围,应根据对数的性质确定其范围.,反思归纳,考查角度2:比较大小 高考扫描:2016高考新课标全国卷. 【例4】 (2016内蒙古宁城县高考模拟)已知a=log46,b=log40.2,c=log23, 则三个数的大小关系是( ) (A)cab (B)acb (C)abc (D)bca,解析:因为a=log46b=log40.2,c=log23=log49a=log46,所以cab.故选A.,比较对数的大小
9、.(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,反思归纳,考查角度3:解对数不等式 【例5】 (2016陕西省高考模拟)设函数f(x)=log2(3x-1),则使得2f(x) f(x+2)成立的x的取值范围是( ),(1)根据对数函数的单调性,当a0,且a1时,有 logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)(f(x)0,g(x)0); 当a1时,logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x
10、)0,g(x)0); 当0logag(x)f(x)0,g(x)0). (2)常见的对数不等式有三种类型: 形如logaf(x)logag(x)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助函数y=logax的单调性求解. 形如logaf(x)logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零.,反思归纳,考查角度4:与对数函数有关的单调性(最值)问题 【例6】 导学号 18702056 已知定义在集合A上的函数f(x)=log2(x-
11、1)+ log2(2x+1),其值域为(-,1,则A= .,研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调性(最值)(其中a0,且a1).,反思归纳,考查角度5:与对数不等式恒成立有关的参数取值(范围)问题 高考扫描:2013高考新课标全国卷.,对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体操作如下: (1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); (2)在同一坐标系下作出两函数y=f(x)及y=g(x)的图象; (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况.,反思归纳,备选例题,忽视对数真数的条件而致误,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,易错提醒:(1)判断复合函数的单调性,遵循“同增异减”的原则;,
