一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b = ab2 + a.如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为A．10 B．-15 C. -16 D．-20 答案：D二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有；当a＞b时，都有．那么， 2△6 = ， △= ．答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，，是弧的中点，于，则．如图2，△中，，，，是上一点，，作交△的外接圆于，连接，则=________°． 答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算： ．例如：（1）按照这个规定，请你计算的值．（2）按照这个规定，当时求的值． 答案（1） =20-12=8 ………………………………………………………………………2（2）由 得………………………………………………………4解得，x= 1……………………………………………………57、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）★（c，d）=bc－ad.例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x= ;（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．答案. 解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分 （3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数 ∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k ∴（2k﹢3）x=5 ∴ ∵k是整数 ∴2k+3=±1或±5 ∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；⊙＝．（1）求⊙的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．答案 解：（1）⊙ . （2）答案不唯一，例如：. 9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心， AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的“确定圆”的示意图． （1）已知点A的坐标为，点的坐标为， 则点A，B的“确定圆”的面积为_________； （2）已知点A的坐标为，若直线上只存在一个点B，使得点A，B 的“确定圆”的面积为，求点B的坐标； （3）已知点A在以为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上， 若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围．解：（1）； ………………… 2分 （2）∵直线上只存在一个点，使得点的“确定圆”的面积 为， ∴⊙的半径且直线与⊙相切于点，如图， ∴，． ①当时，则点在第二象限． 过点作轴于点， ∵在中，，， ∴． ∴． ②当时，则点在第四象限． 同理可得． 综上所述，点的坐标为或． ………………… 6分（3）或．10．（2018北京延庆区初三统一）平面直角坐标系xOy中，点，与，，如果满足，，其中，则称点A与点B互为反等点．已知：点C(3，4)（1）下列各点中， 与点C互为 反等点； D(3，4)，E（3，4），F（3，4）（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标的取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．解：(1)F ……1分 (2) -3≤≤3 且≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分11. （2018北京市朝阳区综合（一））对于平面直角坐标系中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ；②在直线y=2x+b上存段AB的伴随点M、N， 且MN，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存段AB的伴随点，直接写出t的取值范围． 解：（1）①线段AB的伴随点是: . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值. …………………………………………………………4分 如图2，当直线y=2x+b经过点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值. ………………………………………………………5分∴ b的取值范围是3≤b≤5. ………………………………………6分图2图1（2）t的取值范围是……………………………………8分12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形，给出如下定义：点P为图形上一点，点Q为图形上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形，的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为．已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．（1）连接BC，在点D(，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．解：（1）点和线段的“中立点”的是点D，点F； ………2分（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、半径为1的圆上运动.因为点K在直线y=- x+1上，设点K的坐标为（x，- x+1），则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1. 所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分13．（2018北京海淀区第二学期）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在上，则称为的反射点．下图为的反射点的示意图．（1）已知点的坐标为，的半径为，①在点，，中，的反射点是____________；②点在直线上，若为的反射点，求点的横坐标的取值范围；（2） 的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．解（1）①的反射点是，． ………………1分②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，如图．可求得点的横坐标为．同理可求得点，，的横坐标分别为，，．点是的反射点，则上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则.∵，∴．反之，若，上存在点，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点是的反射点．∴点的横坐标的取值范围是，或． ………………4分（2）圆心的横坐标的取值范围是． ………………7分14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）．已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为．（1）如图，当时，①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙上存在“相关依附点”点，①当，直线与⊙相切时，求的值．②当时，求的取值范围．（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的“相关依附点”，直接写出的取值范围．解：（1）①．………………………………………………………………………… 1分②是．……………………………………………………………………………2分（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM．∵ ，，r =1，∴ ，．∴ ．此时．…………………………………………………… 3分图9 图10②如图10，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同理）．作CD⊥QM于点D，则MD=ND．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 当k=时，．此时．假设⊙C经过点Q，此时r = 2．∵ 。
