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1、2.1 平面直角坐标系中的基本公式,一,二,三,一、数轴上的基本公式 【问题思考】 1.填空:(1)数轴的定义. 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说这条直线上建立了直线坐标系. (2)向量的相关定义. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称为向量.,数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.,一,二,三,(3)数轴上的基本公式. 数轴上任意三点A,B,C,则AC=AB+BC; 设OB=x2,OA=x1,则AB=x2-x1; 已知数轴上两点A,B,OB=x2,OA=x1,则两点A,B的距离公式是d(A,B)=|AB|=|x2-x1|.,一,二,三,3.做一做:数轴
2、上A,B,C的坐标分别为-7,2,3,则AB+CA的值为( ) A.1 B.19 C.-1 D.-19 解析:AB+CA=xB-xA+xA-xC=xB-xC=2-3=-1. 答案:C,一,二,三,二、平面直角坐标系中的基本公式 【问题思考】,一,二,三,3.当A,B两点的连线平行于坐标轴或在坐标轴上时,两点间的距离公式还适用吗? 提示:仍然适用,两点间的距离公式适用于求平面内任意两点间的距离.若ABx轴或与x轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若ABy轴或与y轴重合,则|AB|=|y2-y1|. 4.做一做:已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标. 解:设点P(
3、x,0),解得x=9或x=-1. 所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).,一,二,三,三、中点公式 【问题思考】 1.数轴上两点A(-3),B(7),则线段AB的中点M的坐标如何求解?在平面直角坐标系中两点A(-3,6),B(7,2),此时线段AB的中点M的坐标又是如何? 提示:在数轴上时,M的坐标为M(2);在平面直角坐标系中时,M的坐标为M(2,4),推导的思路均是利用数量等式AM=MB.,2.填空:(1)直线上的中点坐标公式.,(2)平面内的中点坐标公式.,一,二,三,3.(1)点P(x,y)关于点G(x0,y0)的对称点的坐标是什么? 提示:点P(x,y)关于点G(x0,y0)的对
4、称点的坐标为(2x0-x,2y0-y). (2)如果数轴上的单位长取作1 cm,你能在数轴上标出数0.001,0.000 1和 对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗? 提示:不能标出0.001,0.000 1和 对应的点,因为数轴上的单位长取作1 cm,而0.001,0.000 1“太小”了, 是无理数,因此它们在数轴上不能准确标出. 数轴上的点与实数是一一对应的关系,即每给出一个点,一定有唯一的实数与之对应;反过来,每一个实数也有唯一的一个点与之对应,因此0.001,0.000 1, 在数轴上确实存在.,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画
5、“”. (1)如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等. ( ) (2)在数轴上,对任意三点M,N,Q均有MN+QN=MQ. ( ),答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,数轴上的坐标运算 【例1】 (1)已知A,B,C是数轴上任意三点. 若AB=5,CB=3,求AC. 证明:AC+CB=AB. (2)已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值. 两点间距离为5. 两点间距离大于5. 两点间距离小于3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)解:因为AC=AB+BC, 所以AC=AB-CB=5-3=2. 证明:设数轴上A,B,C三点的坐
6、标分别为xA,xB,xC, 则AC+CB=(xC-xA)+(xB-xC)=xB-xA=AB, 所以AC+CB=AB. (2)解:数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|. 根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10. 根据题意得|5-a|5, 即5-a5或5-a10. 根据题意得|5-a|3, 即-35-a3,故2a8.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.向量的数量(或坐标)与向量的长度是不同的量,向量的数量(或坐标)是在向量的长度前面加上向量的方向符号,它可能为正也可能为负,还可以为零.向量的数量(或坐标)的绝对值等于向量的长度.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变
7、式训练1如图所示, 是数轴上的一个向量,O是原点,则下列各式不成立的是( ),答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,平面内两点间距离公式的应用 【例2】 已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= |BC|. 证明:如图所示,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟建立平面直角坐标系的常见技巧 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上. (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴. (3)考虑图形的对称性,
8、可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的平面直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2. 证明:如图所示,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得 |AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2, |AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2, |BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析
9、,平面内中点坐标公式的应用 【例3】 已知ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标. 思路分析:由于AC,BC的中点的连线为ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解.,解:设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E,因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识: (1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任
10、意两个量,就可以求出第三个量. (2)从图象上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点. 2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知点A(x,5)关于点C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( ),解析:因为点C为AB的中点,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因考虑问题不全面而致误 【典例】 已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.,所以点D的坐标为(-4,-1),即平行四边形的第四个顶点的坐标为(-4,-1).,
11、探究一,探究二,探究三,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:误认为平行四边形为四边形ABCD,其实还有四边形ABDC,四边形ACBD,由于考虑不全面而导致丢解. 正解:设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y), (1)若四边形ABCD是平行四边形,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)若四边形ABDC是平行四边形,(3)若四边形ACBD是平行四边形,所以点D的坐标为(2,-3). 综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).,探究一,探究二,探究三,思维辨析
12、,防范措施要明确四边形ABCD是各个顶点已具有了相对顺序,而只说是四边形,我们自己可取ABCD,ACBD,ABDC等名称,因此要特别留意题目中的小细节,以防因小失大.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是( ) A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3),解析:设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论. (1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8); (3)若(3,-2),(-1,4)为对
13、顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故应选D. 答案:D,1,2,3,4,5,1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是( ) A.C(-3)和D(-4) B.C(3)和D(4) C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3) 答案:A,1,2,3,4,5,2.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN等于( ) A.-4 B.4 C.12 D.-12 解析:MP+PN=MN=-1-3=-4. 答案:A,1,2,3,4,5,3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角
14、形,AC2=AB2+BC2,ABC为直角三角形.,答案:B,1,2,3,4,5,4.|x-1|+|x+2|的最小值为 . 解析:|x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离. 所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.即|x-1|+|x+2|的最小值为3. 答案:3,1,2,3,4,5,5.已知ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.,解:设C(x1,y1),D(x2,y2). 因为E为AC的中点,所以C的坐标为(-10,6),D的坐标为(-11,1).,
