《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件(理)（104页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 函数模型及其应用,【知识梳理】 1.几类常见的函数模型,2.三种函数模型的性质,递增,递增,快,慢,y轴,x轴,3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.,(3)解模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:,【特别提醒】 “f(x)=x+ (a0)”型函数模型 形如f(x)=x+ (a0)的函数模型称为“对勾”函 数模型:(1)该函数在(-,- 和 ,+)上单调递 增,在- ,0
2、)和(0, 上单调递减. (2)当x0时,x= 时取最小值2 , 当x0时,x=- 时取最大值-2 .,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P107习题3.2A组T1改编)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( ),A.y=2x B.y=log2x C.y= (x2-1) D.y=2.61cosx,【解析】选B.由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8, 不合要求,B中y=log23(1,2),C中y= (32-1)=4,不合 要求,D中y=2.61cos30,不合要求,故选B.,
3、2.(必修1P107习题3.2A组T4改编)有一批材料可以建成200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为 .(围墙厚度不计),【解析】设矩形的长为xm,宽为 m, 则S=x = (-x2+200x). 当x=100时,Smax=2500m2. 答案:2500m2,感悟考题 试一试 3.(2016武汉模拟)某工厂采用高科技技术,在2年内产值的月增长率都是a,则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为 ( ) A.a12-1 B.(1+a)12-1 C.a D.a-1,【解析】选B.不妨设第
4、1年8月份的产值为b,则9月份的 产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,以此类推,到 第2年8月份是第1年8月份后的第12个月,即一个时间间 隔是1个月,这里跨过了12个月,故第2年8月份产值是 b(1+a)12.又由增长率的概念知,这2年内的第2年某月 的产值比第1年相应月产值的增长率为: =(1+a)12-1.,4.(2016新乡模拟)生产一定数量的商品的全部费用 称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的 生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价是20 万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数 量为 ( ) A.36万件 B.18万件 C.2
5、2万件 D.9万件,【解析】选B.利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 当x=18时,L(x)有最大值.,5.(2016成都模拟)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们的繁殖数量为 只.,【解析】当x=1,y=100时, 由y=alog2(x+1)得a=100, 所以y=100log2(x+1),当x=7时,y=300. 答案:300,考向一 一次函数、二次函数模型 【典例1】(1)(2016长春模拟)某人根据 经验绘制了2015年春节前后,从12月21日 至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千
6、 克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.,(2)(2016太原模拟)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0).,写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; 求羊群年增长量的最大值; 当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.,【解题导引】(1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率 为 ,故空闲率为1- .建立函数模型后,利用函数的 最值求羊群
7、年增长量的最大值.,【规范解答】(1)前10天满足一次函数关系,设为y= kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得 解得 则当x=6时,y= . 答案:,(2)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- ,由此可得y= kx (0xm); 对原二次函数配方,得y=- (x2-mx) 即当x= 时,y取得最大值 ;,由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即00,所以0k2.,【母题变式】 1.若将本例(2)“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表示出y关于x的函数解析式?,【解
8、析】根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量 为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- ,因为羊群的年 增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比,由 此可得,2.若本例(2)牧场中羊群的最大蓄养量为10000只,实际蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为多少?,【解析】由题意,可知y=kx (0xm),此时m=10000,x=8000,k=1,代入计算可得y=18000 =1600.故此时羊群的年增长量为1600只.,【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: 二次函数的最值一般利用配方法与函
9、数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;,确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; 解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.,(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点: 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;,构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏; 分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. 易错提醒:1.构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.,2.对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数
10、问题求解.,【变式训练】(2016漳州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明: “活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.,(1)当0x20时,求函数v关于x的函数解析式. (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.,【解析】(1)由题意得当0x4时,v=2; 当4x20时,设v=ax+b, 显然v=a
11、x+b在(4,20内是减函数, 由已知得 所以 故函数,(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得 当0x4时,f(x)为增函数, 故f(x)max=f(4)=42=8; 当4x20时,f(x)= f(x)max=f(10)=12.5.,所以当0x20时,f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.,【加固训练】 1.(2016石家庄模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效
12、,则第二次服药最迟的时间应为 ( ),A.上午10:00 B.中午12:00 C.下午4:00 D.下午6:00,【解析】选C.当x0,4时,设y=k1x, 把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x. 当x4,20时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)分别代入 可得 所以y=400-20x. 所以y=f(x)= 由y240,得 解得3x4或4x8,所以3x8. 故第二次服药最迟应在当日下午4:00.,2.(2016广州模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形
13、两边长x,y应为 ( ) A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14,【解析】选A.由三角形相似得 得x= (24-y),所以S=xy=- (y-12)2+180, 所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.,3.(2016淮安模拟)设某旅游景点每天的固定成本为500元,门票每张为30元,变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为25人时,该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过100人时,该旅游景点需另交保险费200元.设每天的购票人数为x人,赢利额为y元.,(1)求y与x之间的函数关系. (2)该旅游景点希望在人数达
14、到20人时不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每张门票至少要多少元(取整数)?,【解析】(1)依题意可设变动成本y1=k (k0), 当x=25时,有3025-500-k =0k=50, 故y=30x-500-50 (0100时,y=30x-500-50 -200=30x-50 -700, 所以,(2)设每张门票至少需要a元, 则有20a-50 -500020a502 +500a 5 +2552.24+25=36.2,又a取整数,故取a=37. 所以每张门票至少需要37元.,4.(2016吉林模拟)某个体经营者把开始6个月试销A,B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表:,该经营者准备第
15、7个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).,【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.,观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟. 由于(4,2)为最高点,则可设yA=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以yA=-0.15(x-4)2+2.,B种商品所获纯利润与投资额之间的变化
16、规律是纯线性的,可以用一次函数模型进行模拟. 设yB=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1)代入,得0.25=k+b,1=4k+b,解得k=0.25,b=0, 所以yB=0.25x.,设第7个月投入A,B两种商品的资金分别为xA万元,xB万元,总利润为p万元,那么xA+xB=12, p=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB, 所以p=-0.15(xA-4)2+2+0.25(12-xA) =-0.15xA2+0.95xA+2.6,当xA= 3.2(万元)时,p取最大值,约为4.1万元,此时xB=8.8(万元). 即该经营者第7个月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.,考向二 函数y=x+ 模型的应用 【典例2】(2016商丘模拟)某养殖场
