《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算课件(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算课件(理)（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算,【知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系:,Oxyz,x轴、y轴、z轴,(2)空间一点M的坐标: 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示, 记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_,y叫做点M的_ _,z叫做点M的_; 建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组 (x,y,z)可建立_的关系.,横坐标,纵,坐标,竖坐标,一一对应,2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式: 设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则|AB|=_; 设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为 |OP|
2、=_.,(2)中点公式: 设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点, _,则,3.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行或重合,同一个平面,4.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向a,b(b0),ab 的充要条件是存在实数,使得_. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b_,那么向量p 与向量a,b共面的充要条件是存在_的有序实数对 (x,y),使_.,a=b,不共线,唯一,p=xa+yb,(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_,那 么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得 _.其中, _叫做空
3、间的一个基底.,不共面,p=xa+yb+zc,a,b,c,5.空间向量的数量积及坐标运算,(a1+b1,a2+b2,a3+b3),(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a1b1+a2b2+a3b3,a1=b1,a2=b2,a3=b3,【特别提醒】 1.对空间任一点O,若 (x+y=1),则P,A,B 三点共线. 2.对空间任一点O,若 (x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.,3.向量的数量积满足交换律、分配律,即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立,但不满足结合律,即(ab)c=a(bc)不一定成立.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)
4、如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 =a, =b, =c,则下列向量中与相等的向量是 ( ),A.- a+ b+c B. a+ b+c C.- a- b-c D.- a- b+c,【解析】选C,2.(选修2-1P98T8改编)已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若 |a|=6,且ab,则x+y的值为 . 【解析】由|a|=6,得 ,解得x=4, 又ab,所以22+4y+2x=0.即x+2y=-2, 当x=4时,得y=-3,所以x+y=1 当x=-4时,得y=1,所以x+y=-3. 答案:1或-3,感悟考题 试一试 3.(2016莆田模拟)O为空间
5、任意一点,若 ,则A,B,C,P四点 ( ) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断 【解析】选B.由 知,A,B,C,P四点共面.,4.(2016昆明模拟)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且ab=2,则x的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1), 所以ab=-3+2x-5=2, 解得x=5.,5.(2016合肥模拟)已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称 点为B,而B关于x轴的对称点为C,则 = . 【解析】由题意知B(1,2,1),C(1,-2,-1), 则 =(0,-4,-2). 答
6、案:(0,-4,-2),考向一 空间向量的线性运算 【典例1】(1)向量a=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1,4,0),则a+6b-8c= .,(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平 行四边形,设 =a, =b, =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: ; + .,【解题导引】 (1)根据向量坐标线性运算的法则进行运算. (2)利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他向量表示,逐渐向向量a,b,c靠拢.,【规范解答】 (1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0) =(2,
7、0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7),(2)因为P是C1D1的中点, 所以,因为M是AA1的中点, 所以 因为N是BC的中点，所以 所以,【母题变式】 在例(2)的条件下，若 试用a，b，c 表示 . 【解析】如图，连接AF， 则 由已知ABCD是平行四边形，,故 又 由已知 所以 所以,2.在本例(2)的条件下,若 =xa+yb+zc,则求x,y,z的 值.,【解析】,【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形 中. (3)利用三
8、角形法则或平行四边形法则，把所求向量用 已知基向量表示出来.,2.向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.,【变式训练】 在三棱锥O-ABC中,点M,N分别是OA,BC的中点,G是ABC 的重心,用基向量 , , 表示 , .,【解析】,【加固训练】 1.已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,点 M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若 =x +y +z ,则x+y+z= .,【解析】,答案:-,2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点. (
9、1)化简: (2)用 (3)设E是棱DD1上的点,且 若 试求x,y,z的值.,【解析】(1)因为,(3)如图所示,考向二 共线向量与共面向量定理的应用 【典例2】(1)(2016佛山模拟)已知a=(+1,0,2), b=(6,2-1,2),若ab,且a与b反向,+= .,(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足 (0k1). 向量 是否与向量 共面? 直线MN是否与平面ABB1A1平行?,【解题导引】(1)根据ab列方程组求,再把, 代入向量a,b,确定a与b反向的情况. (2)看向量 是否可表示成 的形式. 看 能否与平面ABB1A1两相交直线
10、的方向向量共面, 且 是否在该平面内,从而作出判断.,【规范解答】(1)由题意知b=ka, 即(6,2-1,2)=k(+1,0,2), 6=k(+1), 2-1=0, 2=2k,所以,=2, =-3, = = , 当 时,a=(3,0,2),b=(6,0,4),a与b同向. 当 时,a=(-2,0,2),b=(6,0,-6),a与b反向,因此 =-3,= ,+=-,解得,或,答案:-,(2),所以由共面向量定理知向量 与向量 , 共面.,当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内; 当0k1时,MN不在平面ABB1A1内, 又由(1)知 与 , 共面, 所以MN平面ABB
11、1A1.,【规律方法】 1.空间三点共线的判断方法 结合已知向量从三点中提炼两个共点向量,利用共线向量定理判断,但一定要说明两线有公共点.,2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四 点共面.,(1) (2)对空间任一点O, (3)对空间任一点O, (4),【变式训练】已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任 一点O,若点M满足 (1)判断 , , 三个向量是否共面. (2)判断点M是否在平面ABC内.,【解析】,(2)由(1)知 , , 共面且过同一点M. 所以四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.,【加固训练】 1.有下列命题: 若p=
12、xa+yb,则p与a,b共面; 若p与a,b共面,则p=xa+yb; 若 ,则P,M,A,B共面; 若P,M,A,B共面,则 .,其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.正确.中若a,b共线,p与a不共线,则 p=xa+yb就不成立.正确.中若M,A,B共线,点P不在 此直线上,则 不正确.,2.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA 的中点, (1)求证:E,F,G,H四点共面. (2)求证:BD平面EFGH. (3)设M是EG和FH的交点,求证: 对空间任一点O,有,【证明】(1)连接BG,则 由共面向量定理的推论知: E,F
13、,G,H四点共面.,(2)因为 所以EHBD. 又EH平面EFGH,BD平面EFGH, 所以BD平面EFGH.,(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. 由(2)知 同理 所以 即EH FG, 所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG,FH交于一点M且被M平分.,考向三 空间向量数量积的计算与应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:空间向量数量积的计算 【典例3】(2016长沙模拟) 如图所示,已知空间四边形 ACBD的每条边和对角线长 都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:,【解题导引】选三个不共面的向量为基底,分别将相关 向量用基向量表示
14、,根据向量数量积运算法则转化为基 向量的数量积运算.,【规范解答】设 则|a|=|b|=|c|=1, =60.,【易错警示】解答本题有三点容易出错: (1)在选择基底时,忽视不共面的条件而致误. (2)在根据空间向量基本定理利用基向量表示相关向量 如 时出错. (3)在向量的数量积运算时出错.,命题方向2:空间向量数量积的应用 【典例4】(2016九江模拟)在斜三棱柱OAB-CA1B1中, 向量 , 三个向量之间的夹角均 为 ,点M,N分别在CA1,BA1 上且 ,如图.,(1)把向量 用向量a,c表示出来,并求 . (2)把向量 用a,b,c表示出来. (3)求AM与ON所成角的余弦值.,【
15、解题导引】(1)先把 用a,c表示,再利用| |2 = ,求| |. (2)利用 = ( + )求解. (3)先求 ,再求| |,最后代入夹角公式求解.,【规范解答】,【技法感悟】 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法:ab=|a|b|cos. (2)坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则ab=x1x2+y1y2+z1z2.,2.利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 (1)a0,b0,abab=0. (2)|a|= . (3)cos= .,【题组通关】 1.(2016兰州模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1A1D
