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1、7.1 不等关系与不等式,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.两个实数比较大小的方法,知识梳理,2.不等式的基本性质,ba,ac,acbc,acbc,acbc,acbd,acbd,anbn,(1)倒数的性质,3.不等式的一些常用性质,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种. ( ),(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变. ( ),(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( ),1.设a，b，cR，且ab，则,考点自测,答案,解析,ab，当c0，bb
2、，此时 ，故B错； 当bb时，a3b3，故选D.,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,3.若a，bR，且a|b|0 B.a3b30 C.a2b20 D.ab0,答案,解析,由a|b|b|， 当b0时，ab0成立， 当b0时，ab0成立，ab0成立.故选D.,4.如果aR，且a2a0，则a，a2，a，a2的大小关系是 _.,答案,解析,aa2a2a,由a2a1，a2a2a.,5.(教材改编)若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_.,答案,解析,0ab且ab1，,a2ba2a(1a)2a22a,a2b2b(1b)2b
3、2b(2b1)(b1)， 又2b10，b10，a2b2b0， a2b2b，,题型分类 深度剖析,题型一 比较两个数(式)的大小,例1 (1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是 A.MN C.MN D.不确定,答案,解析,MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21 a1(a21)(a21) (a11)(a21)， 又a1(0,1)，a2(0,1)， a110，即MN0.MN.,A.abc B.cba C.cab D.bac,答案,解析,所以ab；,易知当xe时，函数f(x)是减少的. 因为ef(4)f(5)， 即cba.,所以bc.即cba.,思维升华
4、,比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论. (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.,A.AB B.AB C.AB,答案,解析,A0，B0，,AB.,(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_.,答案,解析,ab,18160,16180，18161618.即ab.,题型二 不等式的性质,例2 (1)已知a，b，c满
5、足cac B.c(ba)0,答案,解析,由c0. 由bc得abac一定成立.,(2)已知a，b，c，d为实数，则“ab且cd”是“acbdbcad”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,因为cd，所以cd0. 又ab，所以两边同时乘以(cd)，得a(cd)b(cd)， 即acbdbcad. 若acbdbcad，则a(cd)b(cd)，也可能ab且cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件,思维升华,解决此类问题常有两种方法：一是直接利用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前
6、提条件.,答案,解析,方法一 a0b，c0， ad0ba，ab0， cd0， a(c)(b)(d)，,故正确. cd，,ab，a(c)b(d)， acbd，故正确. ab，dc0，a(dc)b(dc)， 故正确，故选C. 方法二 取特殊值.,题型三 不等式性质的应用,命题点1 应用性质判断不等式是否成立,例3 已知ab0，给出下列四个不等式： a2b2；2a2b1； ；a3b32a2b. 其中一定成立的不等式为 A. B. C. D.,答案,解析,方法一 由ab0可得a2b2，成立； 由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增加的，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；,若a3，b2，
7、则a3b335,2a2b36， a3b32a2b，不成立. 故选A.,例4 已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.,答案,解析,命题点2 求代数式的取值范围,(1,18),1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18.,(4,2),引申探究,1.若将例4条件改为1xy3，求xy的取值范围.,解答,1x3，1y3， 3y1，4xy4. 又xy，xy0，4xy0， 故xy的取值范围为(4,0).,2.若将例4条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围.,解答,设3x2ym(xy)n(xy)，,又1xy4,2xy3
8、，,思维升华,(1)判断不等式是否成立的方法 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.,(2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.,跟踪训练3 (1)若ab0，则下列不等式一定成立的是,答案,解
9、析,(特殊值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；,|a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立，故选C.,(2)设ab1，cloga(bc). 其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D.,答案,解析,构造函数yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确.,典例 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.,利用不等式变形求范围,现场纠错系列6,在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.,错解展示,现场纠错,纠错心得,得32a6
10、，64a12， 又由可得2ab1， 得02b3，32b0， 又f(2)4a2b，34a2b12， f(2)的取值范围是3,12. 答案 3,12,返回,f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,确定的平面区域如图阴影部分所示，,当f(2)4a2b过点B(3,1)时， 取得最大值432110，5f(2)10. 答案 5,10,返回,课时作业,1.已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是 A.adbc B.acbd C.acbd D.acbd,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解
11、析,由不等式的同向可加性得acbd.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016贵阳质检)下列命题中，正确的是,答案,解析,取a1，b2，c2，d1， 则acbd，acbd，故A，D错误； 取a2，b3，c1，则acbc， ab，故B错误，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是 A.xyyz B.xzyz C.xyxz D.x|y|z|y|,答案,解析,xyz且xyz0，x0，zz，xyxz.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.设a，bR，则“(ab)a2
12、0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,由(ab)a20a0且ab，充分性成立； 由abab0，当0ab时(ab)a20，必要性不成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是,答案,解析,当c0时，可知A不正确； 当cb3且ab0且b0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当a0且b0时，可知D不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
13、,7.若ab0，则下列不等式中一定成立的是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.若ab0，则下列不等式一定不成立的是,答案,解析,(a1)2(b1)20(由ab0，得a，b不能同时为1)， a2b22a2b20，a2b22a2b2， C项一定不成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*9.下列四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是 A.ab1 B.ab1 C.a2b2 D.a3b3,答案,解析,由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立
14、的充分不必要条件是ab1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知a，b，cR，有以下命题： 若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab； 若ab，则a2cb2c. 其中正确命题的序号是_.,答案,解析,不对，因为c2可以为0； 对，因为c20； 对，因为2c0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,zyx,方法一 y2x22c(ab)0，yx. 同理，zy，zyx. 方法二 令a3，b2，c1，则x ，y ， z ，故zyx.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一
