《（全国通用）2018高考数学 直线与圆的位置关系课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2018高考数学 直线与圆的位置关系课件（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 直线与圆的位置关系,【知识梳理】 1.圆周角、圆心角、弦切角定理,一半,弧的度数,相等,相等,圆周角,2.(1)性质: 定理1:圆的内接四边形的对角_. 定理2:圆内接四边形的外角等于它的_. (2)判定: 定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点_. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的 四个顶点共圆.,互补,内角的对角,共圆,3.圆的切线的性质与判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过_. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过_. (2)判定定理:经过半径的外端并且_于这条半径的直
2、线是圆的切 线.,半径,切点,圆心,垂直,4.与圆有关的比例线段,相等,相等,切线长,切线长,两条切线,【小题快练】 1.(2014天津高考)如图,ABC是圆的内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:BD平分CBF;FB2=FDFA; AECE=BEDE;AFBD=ABBF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.由弦切角定理得FBD=EAC=BAE, 又BFD=AFB,所以BFDAFB, 所以 即AFBD=ABBF,排除A,C. 又FBD=EAC=DBC,排除B.,2.(201
3、4湖北高考)如图,P为O外一点,过P作O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB= .,【解析】由切割线定理得QA2=QCQD=1(1+3)=4, 所以QA=2,PB=PA=4. 答案:4,3.(2014湖南高考)如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB= , BC=2 ,则O的半径等于 .,【解析】延长AO,作出直径AD,连接BD,则AB垂直于BD,设BC,AD交于E, 因为AOBC,AB= ,BC=2 ,所以AE=1,由射影定理得AB2=AEAD, 3=2r,r= . 答案:,4.(2014陕西高考)如图,ABC中,BC=6,
4、以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .,【解析】由已知利用割线定理得:AEAB=AFAC, 又AC=2AE,得AB=2AF, 所以 且A=A得AEFACB且相似比为12,又 BC=6,所以EF=3. 答案:3,考点1 圆周角定理及圆内接四边形 【典例1】(2015南阳模拟)已知:直线AB过圆心O,交O于A,B,直线AF交O于F(不与B重合),直线l与O相切于C,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连接AC,求证: (1)BAC=CAG. (2)AC2=AEAF.,【解题提示】(1)连接BC,根据AB为O的直径得到ECB与ACG互余,根据弦切角得到ECB=BA
5、C,得到BAC与ACG互余,再根据CAG与ACG互余,得到BAC=CAG. (2)连接CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得GCF=ECB,再用外角进行等量代换,得到AFC=ACE,结合FAC=CAE得到FACCAE,从而得到AC是AE,AF的比例中项,从而得到AC2=AEAF.,【规范解答】(1)连接BC, 因为AB为O的直径, 所以ACB=90ECB+ACG=90. 因为GC与O相切于C, 所以ECB=BAC, 所以BAC+ACG=90. 又因为AGCGCAG+ACG=90, 所以BAC=CAG.,(2)连接CF.由(1)可知EAC=CAF, 因为GE与O相切于C, 所以GCF=CAF=B
6、AC=ECB. 因为AFC=GCF+90,ACE=ECB+90, 所以AFC=ACE.因为FAC=CAE, 所以FACCAE,所以 所以AC2=AEAF.,【规律方法】圆周角定理常用的转化 (1)圆周角与圆周角之间的转化. (2)圆周角与圆心角之间的转化. (3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. (4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化.,【变式训练】(2015抚顺模拟)如图,PA,PB是圆O的两条切线,A,B是 切点,C是劣弧AB(不包括端点)上一点,直线PC交圆O于另一点D,Q在弦 CD上,且DAQ=PBC,求证: (1) (2)ADQDBQ.,【证明】(1)因为PBCPDB,所以
7、 同理 又因 为PA=PB,所以 即 (2)连接AB,因为BAC=BDQ=PBC=DAQ,ABC=ADQ,所以ABC ADQ,所以 故 又因为DAQ=PBC=BDQ, 所以ADQDBQ.,【加固训练】如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EFCB,EF交AD的延长线于点F.求证:DEFEAF.,【证明】因为EFCB,所以BCD=FED, 又BAD与BCD是 所对应的圆周角, 所以BAD=BCD,所以BAD=FED, 又EFD=EFD,所以DEFEAF.,考点2 圆的切线性质与判定定理、弦切角定理 【典例2】(2014辽宁高考)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,
8、连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F. (1)求证:AB为圆的直径. (2)若AC=BD,求证:AB=ED.,【解题提示】(1)利用已知条件证明ADB=90,从而证明AB为圆的直径. (2)设法证明ED也是直径,即可证明AB=ED.,【规范解答】(1)因为PG=PD,所以PDG=PGD. 由于PD为切线,所以PDA=DBA, 又由于EGA=PGD,所以EGA=DBA. 所以DBA+BAD=EGA+BAD, 从而BDA=PFA, 由于AFEP,所以PFA=90, 所以BDA=90,故AB为圆的直径.,(2)连接BC,DC.由于AB为圆的直径, 所以BDA=ACB=90. 在RtB
9、DA,RtACB中,AB=BA,BD=AC, 从而RtBDARtACB. 所以DAB=CBA.又因为DCB=DAB, 所以DCB=CBA,故DCAB. 由于ABEP,所以DCEP,所以DCE=90, 所以ED为直径,所以AB=ED.,【规律方法】与圆的切线有关的问题及处理方法 (1)证明直线是圆的切线的常用方法: 若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可. 若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径.,(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角. (3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理. 提醒:利用弦切角定理时,一定要注意是弦
10、切角与同弧上的圆周角相等.,【变式训练】(2015张掖模拟)如图,C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,ACB平分线CD交AE于点F,交AB于D点. (1)求ADF的度数. (2)若AB=AC,求ACBC.,【解析】(1)因为AC为圆O的切线, 所以B=EAC, 又知CD是ACB的平分线,所以ACD=DCB, 所以B+DCB=EAC+ACD, 即ADF=AFD, 又因为BE为圆O的直径,所以DAE=90, 所以ADF= (180-DAE)=45.,(2)因为B=EAC,ACB=ACB, 所以ACEBCA,所以 又因为AB=AC,所以B=ACB=30, 所以在RtABE中, =tanB
11、=tan30= .,考点3 与圆有关的比例线段 【典例3】(2015濮阳模拟)如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延 长线相交于点P,E为O上一点, DE交AB于点F. (1)证明:DFEF=OFFP. (2)当AB=2BP时,证明:OF=BF.,【解题提示】(1)证明OFEDFP后利用对应边成比例求解. (2)利用相交弦定理化简证明.,【规范解答】(1)连接OE.因为 所以AOE=CDE,所以EOF=PDF, 又EFO=PFD, 所以OFEDFP,所以 所以DFEF=OFFP.,(2)设BP=a,由AB=2BP,得AO=BO=BP=a, 由相交弦定理得:DFEF=AFBF, 所以AFBF=O
12、FFP, 所以OF(a+BF)=(a+OF)BF, 所以OF=BF.,【规律方法】与圆有关的比例线段解题思路 (1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理. (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理. (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.,【变式训练】(2014新课标全国卷)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明: (1)BE=EC. (2)ADDE=2PB2.,【证明】(1)因为PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,PAD为等腰三角形. 连接AB,则PAB=DEB=,BCE=BAE=. 因为P
13、AB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA=DEB+DBE, 所以+=+DBE,所以=DBE, 即BCE=DBE,所以BE=EC.,(2)因为ADDE=BDDC, PA2=PBPC,PD=DC=PA, 所以PA2=PBPC=PB2PA,即PA=2PB, 所以BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA) =PBPA=PB2PB=2PB2.即ADDE=2PB2.,【加固训练】如图,AB,CD是圆的两条平行弦,BEAC,BE交CD于E,交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2. (1)求AC的长. (2)试比较BE与EF的长度关系.,【解析】(1)连接BC.因为过A点的切线交DC的延长线于P,所以PA2=PCPD, 因为PC=1,PA=2,所以PD=4. 又PC=ED=1,所以CE=2, 因为PAC=CBA,PCA=CAB, 所以PACCBA,所以 所以AC2=PCAB=2,所以AC= .,(2)BE=AC= , 由相交弦定理可得CEED=BEEF. 因为CE=2,ED=1, 所以EF= ,所以EF=BE.,
