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1、2.5.5 状态能观性的定义 对线性系统而言,状态能观性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与系统的输入u(t)和输入矩阵B无关, 即讨论状态能观性时,只需考虑系统的自由运动即可。,上述结论可证明如下:对线性定常系统(A,B,C),其状态和输出的解分别为,与,能观性等价,因为矩阵A,B,C和输入u(t)均已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出:,研究状态能观性问题,即为上式对任意的初始状态x(t0)能否由辅助输出y-(t)来唯一确定的问题。 所以线性系统状态能观性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无
2、关。 也就是说,分析线性系统的能观性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 因此,我们有如下线性系统状态能观性的定义。 对线性连续系统,我们有如下状态能观性定义。,定义 若线性连续系统,对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t), 能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0), 则称在t0时刻的状态x(t0)能观; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;,若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。 即,若逻辑关系
3、式,为真,则称系统状态完全能观。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。,对上述状态能观性的定义有如下注记。 1.对于线性定常系统,由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关, 因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”, 而为“某一时刻状态完全能观,则系统状态完全能观”。 即,若逻辑关系式,为真,则称线性定常连续系统(A,C)状态完全能观。,2.上述定义中的输出观测时间为t0,t1,并要求t1t0。这是因为,输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则,若m=n且输出矩阵C(t)可逆,则 x(t
4、)=C-1(t)y(t) 即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn,为了能唯一地求出状态变量的值,不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。 3. 在定义中把能观性定义为对初始状态的确定,这是因为,一旦确定初始状态,便可根据状态方程的解表达式,由初始状态和输入,计算出系统各时刻的状态值。,2.5.6 线性定常连续系统的状态能观性判据 线性定常连续系统的状态能观性判据有许多不同形式,下面分别讨论 代数判据和 模态判据。,1. 代数判据 定理 (线性定常离散系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为下述条件成立: 如下定义的能观性
5、矩阵,满秩,即 rankQo=n,比较一下能控性矩阵,例 试判断如下系统的状态能观性,解 由状态能观性的代数判据有,而系统的状态变量的维数n=2,所以系统状态不完全能观。,2. 模态判据 在给出线性定常连续系统的状态能观性模态判据之前,先讨论状态能观性的如下性质: 线性定常系统经线性变换后状态能观性保持不变。,因此系统 的状态能观性等价于(A,C)的状态能观性,即线性变换不改变状态能观性。 基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其特例),通过分析约旦规范形的能观性来分析原状态空间模型的能观性。 下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能观性模态判据。,定
6、理1 设系统具有两两相异的特征值，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经过相似变换后的对角规范型,中， 不包含元素全为0的列。,定理2 设系统具有相重的特征值，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经过相似变换后的约当规范型,中， 与每个约当块的首行相应的列元素不全为0。,祥见课本P119,对定理作两点说明: 状态能观性模态判据讨论的是约旦规范形。 若系统的状态空间模型不为约旦规范形,则可根据线性变换不改变状态能观性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用定理来判别状态能观性; 定理不仅可判别出状态能观性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。
7、这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。,例 试判断如下系统的状态能观性。,解 由定理可知,A为特征值互异的对角线矩阵,但C中的第2列全为零,故该系统的状态x2不能观,则系统状态不完全能观。,状态空间x1-x2不完全能观,状态变量x1完全能观,状态变量x2完全不能观,解 由于A为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全能观。,以上定理所给出的状态能观性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。 下面我们给出另一种形式的状态能观性模态判据, 称为PBH秩判据。 该判据属于一种直接法。,定理 线性定常
8、连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为:对于所有的,下式成立:,例 试判断如下系统的状态能观性。,解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和-3。对特征值1=-1,有,列3=列2-列1,由定理知,因为对应于特征值-1,定理的条件不成立,故该系统状态不完全能观。,能观性判据小结,判定方法,特点,判据,代数判据,模态判据1,模态判据2,能观性矩阵Qo满秩,约旦标准形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关,对于所有特征值 , rankI-A C=n,计算简便可行。 缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观,易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观。 缺点为需变换成约旦标准形,易于分析哪些特征值(极点)能观。 缺点为需求系统的特征值,
