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1、第2讲 四种命题和充要条件,考试要求 1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系，A级要求；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义，B级要求,知 识 梳 理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题,判断真假,判断为真,判断为假,2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性 ,相同,没有关系,3充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,充分,必要,4.证明命题条件的充要性时，既
2、要证明原命题成立(即条件的 )，又要证明它的逆命题成立(即条件的 ),充分性,必要性,诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) (1)“x22x30”是命题 ( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q” ( ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件 ( ) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立” ( ),解析 (1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的 (2)错误否命题既否定条件，又否定结论 答案 (1) (2) (3) (4),3(2016天津卷改编)设x0，yR，则“xy”是“x|y| ”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充
3、要”或“既不充分也不必要”中选填一个) 解析 xyx|y|(如x1，y2) 但x|y|时，能有xy. “xy”是“ x|y| ”的必要不充分条件 答案 必要不充分,4命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为_ 解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此四个命题中有2个假命题 答案 2,5(2017扬州中学检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“x0R，f(x0)f(x0)”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个) 解析
4、若f(x)为偶函数，则有f(x)f(x)，所以pq；若f(x)x，当x0时，f(0)f(0)，而f(x)x为奇函数，所以p. “命题p”是“命题q”的充分不必要条件 答案 充分不必要,考点一 四种命题的关系及其真假判断 【例1】 (1)命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为_ (2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为_,解析 (1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x4，则x23x40”；由x23x40，得x4或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题 (2)由共轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为
5、真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假 答案 (1)“若x4，则x23x40”为假命题 (2)假，假，真,规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变 (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例 (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假,【训练1
6、】 已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是_(填序号) 否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题；逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题； 逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题,解析 由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题 答案 ,考点二
7、 充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个). (2)(2017衡阳一模改编)“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个),解析 (1)由极值的定义，qp，但q.例如f(x)x3，在x0处f(0)0，f(x)x3是增函数，x0不是函数f(x)x3的极值点 因此p是q的必要不充分条件 (2)直线axy10与直线(a2)x3y20垂直的充
8、要条件为a(a2)1(3)0，解得a1或3，故“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的充分不必要条件 答案 (1)必要不充分 (2)充分不必要,规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断 (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件,【训练2】 (2016山东卷改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直
9、线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个),解析 由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面 因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件 答案 充分不必要,考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围,【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？,规律方法 充分条件、必
10、要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验,思想方法 1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定,2充要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假 (2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A 綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法 (3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)；若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件,易错防范 1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提 2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式 3判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.,
