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1、第三节 反比例函数,知识点一 反比例函数的概念及表达式 1一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 _(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函 数其中反比例函数的自变量x的取值范围是 _的全 体实数,不为0,2反比例函数表达式的三种形式 (1)y (k为常数，k0)； (2)ykx1(k为常数，k0)； (3)xyk(k为常数，k0),知识点二 反比例函数的图象与性质) 1反比例函数y (k为常数，k0)的图象是_， 它有两个分支且关于_对称,双曲线,原点,2图象与性质,一、三,二、四,减小,增大,正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围， 不能笼统地说y随x的变化而
2、变化，应指明在某一象限内或 自变量的取值范围内说明函数的增减变化情况,3反比例函数y (k0)中k的几何意义 从双曲线y (k0)上任意一点向两坐标轴作垂线段， 两垂线段与坐标轴围成的矩形面积为 _ 如图1和图2，S矩形OAPBPAPB|y|x|xy|k|， 同理可得SOPASOPB |xy| |k|.,|k|,考点一 反比例函数的图象与性质 (5年5考) 例1 (2016天桥三模)在反比例函数y 图象上有 A(1，y1)，B(2，y2)，且y1y2，则m的取值范围是( ) Am Bm Cm Dm,【分析】 直接利用反比例函数的增减性得出13m0， 进而求出答案 【自主解答】 反比例函数y 图
3、象上有两点 A(1，y1)，B(2，y2)，且y1y2 ， 每个象限内，y随x的增大而减小，则13m0， 解得m .故选B.,对于反比例函数y (k0)，k的符号、图象所在的象限、 函数的增减性这三者，知道其中一个，另外两个都可以推 出，即k0图象在第一、三象限在每个象限内y随x的增 大而减小；k0图象在第二、四象限在每个象限内y随x 的增大而增大,1设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y 图象上的 两个点，当x1x20时，y1y2，则一次函数y2xk 的图象不经过的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,A,2(2017潍坊)一次函数yaxb与反比例函数y
4、 ， 其中ab0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以 是( ),C,3(2017上海)如果反比例函数y (k是常数，k0)的 图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限 内，y的值随x的值增大而_(填“增大”或“减小”),减小,考点二 确定比例系数k的值 (5年5考) 例1 (2016济南)如图，半径为2的O在第一象限与直线 yx交于点A，反比例函数y (x0)的图象过点A， 则k_,【分析】 先求出点A的坐标，再代入反比例函数y (x0)，即可解答 【自主解答】 半径为2的O在第一象限与直线yx 交于点A，OA2，点A的坐标为( ， ) 把点A代入反比例函数y (x0)得
5、k2. 故答案为2.,讲： 确定比例系数k的值 过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线， 垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，这一点和垂足以 及坐标原点所构成的三角形面积等于 .但是需要注意的是， 确定k值时，还要结合具体的函数图象所在的象限，这是最易 出错的地方 练：链接变式训练4,4(2015济南)如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为 (4，0)，顶点B在反比例函数y (x0)的图象上，则 k_,5(2014济南)如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形， ACOADB90，反比例函数y 在第一象限的图象 经过点B.若OA2AB212，则k的值为_.,6,考点三 确定反比例函
6、数的表达式 (5年4考) 例3 如图，反比例函数y 的图象经过RtOAB的顶点A， D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的表达式为 ,【分析】 根据题意设点A坐标(x， )，由D为斜边OA的中点， 可得出D点坐标，从而得出过点D的反比例函数的表达式 【自主解答】 设点A坐标(x， )， 由D为斜边OA的中点，可知D( ， )， 故过点D的反比例函数的表达式为y . 故答案为y .,确定反比例函数的表达式有两种方法：当已知反比例函数 图象上一个点的坐标时，可用待定系数法求得函数表达式； 当实际问题中的两个变量成反比例函数关系时，且知道其 中一组对应值，可用待定系数法求得函数表达式,6如图，反
7、比例函数y 的图象经过点M，则此反比例 函数的表达式为( ) Ay By Cy Dy,C,7如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正 方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y (k0)的图象上与正方形的一个交点 若图中阴影部分的面积等于9， 则这个反比例函数的表达式 为_,考点四 反比例函数的综合应用 (5年4考) 例4 (2016济南)如图1，OABC的边OC在x轴的正半轴上， OC5，反比例函数y (x0)的图象经过点A(1，4) (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过BC的中点D作DPx轴交反比例函数图象于点P， 连接AP，OP. 求AOP的面
8、积；,在OABC的边上是否存在点M，使得POM是以PO为斜边的 直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标； 若不存在，请说明理由.,【分析】 (1)由点A的坐标即可求出反比例函数关系式，再 根据平行四边形的性质结合点A，O，C的坐标即可求出点B 的坐标；(2)延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点， 可求出点D的坐标，再求出点P的坐标，由此即可得出PD， EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；假设 存在，以OP为直径作圆，通过解直角三角形和勾股定理求 出点M的坐标,【自主解答】 (1)反比例函数y (x0)的图象经过 A(1，4)，m144， 反比例函数的关系式为y (
9、x0) 四边形OABC是平行四边形，OC5，A(1，4)， C(5，0)，B(6，4).,(2)如图1，延长DP交OA于点E， 点D是BC的中点，D( ，2) 在反比例函数y (x0)中， 令y2，得x2， P(2，2)，PD ， EPEDPD ， SAOPSAEPSOEP EP(yAyO)3.,假设存在点M，使得POM是以PO为斜边的直角三角形 如图2，以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接 PM1，PM2， P(2，2)，O(0，0)，M1(2，0). 设直线OA的关系式为ykx， 点A(1，4)在直线上，k4， 直线OA的关系式为y4x.,设点M2(t，4t)， 则OM2
10、 t，PM2 . OM2P90， OM22PM22OP2. 即17t217t220t88. 解得t 或t0(舍去),点M2( ， ). 故在OABC的边上存在点M，使得POM是以PO为斜边的 直角三角形，点M的坐标为(2，0)或( ， ).,8(2017济南)如图1，OABC的边OC在y轴的正半轴上， OC3，A(2，1)，反比例函数y (x0)的图象经过点B. (1)求点B的坐标和反比例函数的关系式； (2)如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点， 若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；,(3)如图3，将线段OA延长交y (x0)于点D，过B，D的直 线分别交x轴
11、，y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量 关系，并说明理由,解：(1)在OABC中，OC3，A(2，1)，B(2，4) 点B在反比例函数y 的图象上，k248， 故反比例函数的关系式为y . (2)点O和点B关于直线MN成轴对称， 直线MN是线段OB的垂直平分线 点O(0，0)，B(2，4)， OB的中点坐标为(1，2)，直线OB的关系式为y2x.,设直线MN的关系式为y xb， 直线MN过OB中点(1，2)， 2 1b，解得b ，ON . (3)EDBF.理由如下： A(2，1)，直线OA的关系式为y x. 由 得x216， 解得x4，D(4，2),设直线BD的关系式为ymxn， 则 解得,直线BD的关系式为yx6， 易知E(6，0)，F(0，6) BF ， ED ， EDBF.,
