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1、多边形与平行四边形,第五章 图形的性质(一),1多边形和正多边形的概念及性质,(n2)180,2.平行四边形的性质以及判定 (1)性质： 平行四边形两组对边分别_； 平行四边形对角_，邻角_； 平行四边形对角线_； 平行四边形是_对称图形 (2)判定方法： 定义：_的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形 3三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半,平行且相等,相等,互补,互相平分,中心,两组对边分别平行,一组对边平行且相等,两组对边分别相等,两组对角分别相等,对角线互相平分,1利用平行
2、四边形性质进行有关计算的一般思路为： (1)运用平行四边形的性质转化角度或线段之间的等量关系：对边平行可得相等的角，进而可得相似三角形；对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；当有角平分线的条件时，可利用“平行角平分线可得等腰三角形”的结论得到等角、等边 (2)找到所求线段或角所在的三角形，若三角形为特殊三角形，则注意运用特殊三角形的性质求解；若三角形为任意三角形，可以利用某两个三角形全等或相似的性质进行求解，有时还可利用三角形的中位线等知识求解,2在判定四边形为平行四边形时，关键是选择判定的方法可以从边、角、对角线三个方面加以分析： (1)若已知一组对边相等，则需证这组对边平行或者另外一组对
3、边相等；若已知一组对边平行，则需证明这组对边相等或者另外一组对边平行； (2)若已知一组对角相等，则需证另一组对角相等； (3)若已知一条对角线平分另一条对角线，则需证对角线互相平分 3四种常用的辅助线 (1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形； (3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置,1(2015葫芦岛)如图，在五边形ABCDE中，ABE300，DP，CP分别平分EDC，BCD，则P的度数
4、是( ) A60 B65 C55 D50,A,2(2015营口)如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DAC42，CBD23，则COD是( ) A61 B63 C65 D67,C,3(2014本溪)如图，在ABCD中，AB4，BC6，B30，则此平行四边形的面积是( ) A6 B12 C18 D24,B,4(2015本溪)如图，ABCD的周长为20 cm，AE平分BAD，若CE2 cm，则AB的长度是( ) A10 cm B8 cm C6 cm D4 cm,D,A,6,8(2013鞍山)如图，D是ABC内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD
5、的中点，则四边形EFGH的周长是_,11,9(2013阜新)如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(1，2)，C(2，0)，请直接写以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标_,(3，2)(5，2)(1，2),10(2014抚顺)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果332，那么12_度,70,12(2015鞍山)如图，ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC2AB. 求证：(1)APGFEG； (2)PEF为等腰三角形,多边形及其性质,C,D,1(1)(2015丽水)一
6、个多边形的每个内角均为120，则这个多边形是( ) A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 (2)(辽阳模拟)如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36，再沿直线前进12米，又向左转36照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_米,C,120,平行四边形的性质,【例2】 (辽阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，BAFE，EA是BEF的角平分线求证： (1)ABEAFE； (2)FADCDE.,【点评】 平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题,C,平行四边形的判定,【例3
7、】 (盘锦模拟)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证 已知：如图，在四边形ABCD中，BCAD，AB_； 求证：四边形ABCD是_四边形 (1)补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为_,CD,平行,平行四边形的两组对边分别相等,【点评】 探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”
8、或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形,对应训练 3(2015桂林)如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点 (1)求证：四边形EBFD为平行四边形； (2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：ABNCDM.,三角形中位线定理,【例4】 (2014宿迁)如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高 (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)求证：DHFDEF.,解：(1)点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DE，EF都是ABC的中位线，EFAB，DEAC，四边形ADEF是平行四边形 (2)四边形ADEF
9、是平行四边形，DEFBAC，D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，DHAD，FHAF，DAHDHA，FAHFHA，DAHFAHBAC，DHAFHADHF，DHFBAC，DHFDEF,【点评】 当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题,3,(2)(2015河北)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则312_,24,21.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据,试题 如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120，CD10 cm，BC8 cm，AB8 c
10、m，AF5 cm，求此六边形的周长,错解 解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.FEDEDC120，DEMEDM60，DEM是等边三角形同理，MAB，NFA也是等边三角形，FNAF5，MAAB8.EFA120，EFC60，EDFC，同理，EFDN，四边形EDNF是平行四边形同理，四边形EMAF也是平行四边形，EDFN5，EFMA8.六边形ABCDEF的周长ABBCCDDEEFFA881058544(cm),剖析 上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由FEDEDC120得到DEMEDM60的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角
11、线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分CDE，DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理,正解 如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.EDCDCB120，MDCMCD60，M60，MDC是等边三角形CD10，MCDM10.同理，ANF也是等边三角形，AFANNF5.ABBC8，NB8513，BM81018.E120，EM180，ENMB.同理，EMNB，四边形EMBN是平行四边形，ENBM18，EMNB13，EFENNF18513，EDEMDM13103，六边形ABCDEF的周长ABBCCDDEEFFA8810313547(cm),
