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1、,第 一 章,计数原理,章 末 高 效 整 合,知能整合提升,1两个计数原理的区别与联系,2.排列与组合概念及公式 (1)定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 即排列和顺序有关，组合与顺序无关,3排列与组合的应用 (1)认真分析题目的条件和结论，明确“完成一件事”的具体含义，及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要搞清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题还是组合问题，解题时，可以借助示意图，表格等,(2)常用解题策略如下： 包含特殊元素或特殊位置
2、的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题 某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序 某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端,直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数 排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序,说明 二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a，b的取值有关 运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方
3、程求出r，再求所需的项(或项的系数),说明 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解,热点考点例析,两个计数原理的应用,点拨： 基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合,有3封信，4个信简 (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄信方法？ 思维点击 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问题解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解,1有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓
4、球混合双打代表队，共可组成( ) A7队 B8队 C15队 D63队 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7963队 答案： D,2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) A400种 B460种 C480种 D496种 解析： 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，不同涂法有654(13)480种，故选C. 答案： C,点拨： 解决排列组合应用题的处理方法与策略 特殊元素优先安排的策略； 合理分类和准确分步的策略； 排列、组合混合问题先选后排的策略； 正难则反、等价转化的策略； 相邻问
5、题捆绑处理的策略； 不相邻问题插空处理的策略；,排列组合应用题的处理方法与策略,定序问题除法处理的策略； 分排问题直排处理的策略； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； 构造模型的策略 特别提醒： 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏,用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有_个(用数字作答) 思维点击 “个位”是特殊位置或“偶数数字”是特殊元素，应优先考虑,3甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( ) A36种 B30种 C12种 D6种,4从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字
6、中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？,点拨： 1.区分“项的系数”与“二项式系数”项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正 2切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、“系数最大的项”等概念,二项式定理,3求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项 4赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1. 5在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.,思维点击 本题各项系数的变化，除注意负号外，还要注意i的运算性质，各项系数的绝对值为二项式系数,5设(1x)8a0a1xa8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为( ) A2
7、B3 C4 D5,1书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( ) A22种 B350种 C32种 D20种 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有107522种 答案： A,2一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9! 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种 答案： C,3(2013山东卷)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D279 解析： 能够组成三位数的个数是91
8、010900，能够组成无重复数字的三位数的个数是998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900648252. 答案： B,43位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A360 B288 C216 D96,7某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动 (1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ (2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ (3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？,解析： (
9、1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法由分类计数原理可得，共有67821种不同的选法 (2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法由分步计数原理，共有678336种不同的选法,(3)分三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有67种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有68种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有78种不同的方法，故共有676878146种不同选
10、法,8设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，求下列各式的值 (1)a0a1a2a10； (2)a6.,1(2014福建卷)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ),A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5 B(1a5)(1bb2
11、b3b4b5)(1c)5 C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5),解析： 运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法)解决 由题意可知：5个无区别的红球取出若干球可表示为1aa2a3a4a5；5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1b5；5个有区别的黑球取出若干球可表示为(1c)(1c)(1c)(1c)(1c)(1c)5.由乘法原理可得所有取法可表示为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5.故选A. 答案： A,2(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种,3(2014
12、福建卷)若集合a，b，c，d1,2,3,4， 且下列四个关系： a1；b1；c2；d4. 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_,解析： 运用集合和排列组合的有关知识解题 由题意知中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数： (1)若正确，即a1，则，都错误，即b1，c2，d4.其中a1与b1矛盾，显然此种情况不存在； (2)若正确，即b1，则，都错误，即a1，c2，d4，则当b2时，有a3，c1；当b3时，有a2，c1，此时有2种有序数组,(3)若正确，即c2，则，都错误，即a1，b1，d4，则a3，即此种情况有1种有序数组 (4)若正确，即d4，则，都错误，即a1，b1，c2，则当d2时，有a3，c4或a4，c3，有2种有序数组；当d3时，有c4，a2，仅1种有序数组 综上可得共有21216(种)有序数组 答案： 6,4(2014全国卷)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案),5(2014全国卷)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案),
