《(教师参考)高中数学 2.3 等差数列的前n项和课件2 新人教a版必修5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(教师参考)高中数学 2.3 等差数列的前n项和课件2 新人教a版必修5(25页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和,有一次,老师和高斯经过 建筑工地,建筑工地上放 着一堆圆木,从上到下每 层的数目分别为1,2,3, ,100 . 老师问: 高斯,你知道共有多少 根圆木吗?,问题就是:,计算1 2 3 99 100=?,创设情景,高斯的算法,计算: 1 2 3 99 100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组: 第一个数与最后一个数一组; 第二个数与倒数第二个数一组; 第三个数与倒数第三个数一组, 每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么
2、呢?,n (n-1) (n-2) 2 1,分析:这其实是求一个具体的等差数列前n项和.,启 发,倒序相加法,探 究,高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗?,合 作 探 究,已知等差数列 an 的首项为a1,项数是n,第n项为an,求前n项和Sn .,如何才能将等式的右边化简?,思考:还有别的推导方法吗?,已知等差数列 an 的首项为a1,项数是n,第n项为an,求前n项和Sn ., ,另 解,+ 得,倒序相加法,公 式 变 形,思考:比较这两个公式,如何记忆?从哪些角度反映等差数列性质?,等差数列的前n项和的公式:,含a1 和d,求 和 公 式,含a1 和an,公式
3、记忆,公 式 记 忆,对比:我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,an,a1,a1,(n-1)d,将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.,公 式 应用,练一练,例 题 讲 解,例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知,某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?,分析:找关
4、键句;,求什么,如何求?,解:依题意得,该市在“校校通”工程的经费每年比上一年增加50万元,所以每年投入的资金构成等差数列an,且a1=500,d=50,n=10.,那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为,答:从20012010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.,例 题 点 评,解决实际问题的步骤: (1)仔细阅读题目,审清题意; (2)提取相关数学信息,建立数学模型(本题为等差数列模型); (3)解决此数学模型所体现的数学问题(本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解); (4)还原问题(回到实际问题中作答)。,易错方面:,(1)审题不清(如:把前n项和与最后一
5、项混淆),(2)项数,(3)忘记答或写单位,例 题 讲 解,例2、已知一个等差数列an的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?,分析:方程思想和前n项和公式相结合,解:由题意知:S10310,S201220,将它们代入公式,得到,还有其它方法吗?,方程思想,一 题 多 解,例2、已知一个等差数列an的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?,一 题 变 式,例2变式、已知一个等差数列an的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗?,
6、【另解】由等差数列的性质,可推得:,成等差数列,解得:前30项的和为2730 .,整体思想,点评:,上述方法没有列出方程求出具体的个别量,而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出,要注意体会这种思想在数学中的运用.,变 式 提 高,整体思想,知 识 小 结,1等差数列前n项和的公式; 2等差数列前n项和公式的推导方法 3.公式的应用 ;,(两个),倒序相加法,(知三求一),例 题 讲 解,当n 1时: ,当n=1时:,也满足式.,变 式 训 练,当n 1时: ,当n=1时:,不满足式.,点评:,分类讨论思想,【深化探究】, 如果一个数列 的前n项和为 其中p、q、r为常数,且p0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差是什么?,(1)若r0,则这个数列一定不是等差数列. (2)若r0,则这个数列一定是等差数列.,结论:数列是等差数列等价于,常数项为0的关于n的二次型函数,例 题 讲 解,【解析】由题意知,等差数列的公差为,于是,当n取与 最接近的整数即7或8时, 取最大值.,函数思想,还有其它方法吗?,例 题 讲 解,从等差数列的通项公式出发来分析,【本节小结】,1.等差数列的前n项和公式,3.推导等差数列前n项和公式方法:,倒序相加法,4.本节基本思想:,方程思想,函数思想,分类讨论思想,整体思想,