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1、浅议求递推数列的通项公式的数学思想,禄劝民族实验中学 付贵有 王自存,2,高考复习专题讲座,2,一、浅谈递推数列在高考中的地位和 对策,二、几个常见模型的通项公式的求法及例子,一、浅谈递推数列在高考试题中的 地位与对策,3,数列在高中数学课本上篇幅很小， 然而在高考试题中的情况却相反。,1981年、1982年、1984年、1986年、1987年、1999年、2000年、2002年、2003年、2004年、2005年、2006年，这些年的题中都有考递推数列的题，且常常是大题，甚至是压轴题。2006年的36 套题中，考递推数列的大题有25 题。2007年的38套题中有22题，2008年的38套题中
2、有27题，09 年的文科18套题中有9道题。理科18套题中有15道题,4,关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近些年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。,递推数列的题目常常是给出递推公式让你求解，或是给出前n项和Sn与an的关系式让你求解。求解的问题或是求an，Sn或是求an、Sn的极限等，不论是哪类问题，往往是通项 一旦出来，其它问题就迎刃而解了。,6,二、递推公式转化通项公式的几个常见模型 及例子,（一）有关概念：我们在研究数列an时，如果任一项an与它的前一项,（或几项）间的关系可以用一个
3、公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。 递推公式是给出数列的一种重要方法。,（二）求递推数列的通项公式的方向，是将其转化为等差数列或等比数列的问题来解决。,7,（三）求递推数列的通项公式的手段，是连续代换，层层化简，最终化为等差数列或等比数列的问题来解决。,（四）求递推数列的通项公式的数学思想是转化化归，高化低、隐化显、生化熟、繁化简。,（五）求递推数列的通项公式的捷径，是记住常见模型、记住相应手段。,注意几点：,（六）求递推数列的通项公式的过程多是：观察调整代换观察调整代换整理出结果。,（三）几个模型：,模型1,显然有,模型2,显然有,8
4、,模型3.,=,，（q1，q0）,解 :,令,则,令,于是有,（到此，问题转化成了模型2）,9,特例.a1=5,an+1=2an+3,求通项公式. （2006，重庆,文,14）,例1,通过比较找到x,已知数列,中，,=5，,求,的通项公式。,解。,由,于是,+22(,），,作代换,=,则,=2,- 2,=5+2=7，,=7,=7,17,（2006，重庆,文,14）,例1,令,则,与原式比较得,于是bn是等比数列,由等比数列的通项公式得,由所作代换得,反思,练习1：在数列an 中，若,则该数列的通项an _,练习2：07全国卷2理21,模型4,=,解:,将,=,两边取对数,得,lg,=,令,lg
5、,则,=,（到此，问题转化成了模型3）,10,特例:,例2与例3,例2已知数列,中，,=,100,求通项,解:,由,100,得lg,2lg,+2,令bn=lg,则bn+1=2bn+2,由例1得,bn=72n-1 2,18,于是,a1=2,an+1=2an4,求通项an .,例3.,解.,由已知易知各项均为正数,于是将 an+1=2an4 两边取以2为底的对数得,19,log2an+1=1+4log2an,令log2an=bn,则有bn+1=1+4bn,令bn+1+x=4(bn+x)则x=1/3,于是bn+1+1/3=4(bn+1/3),令cn=bn+1/3则cn+1=4cn,而b1=1,c1=
6、4/3,所以cn=(4/3)4n-1,bn=(4/3)4n-1-1/3,整理得,模型5,=,解:,由,=,得,以上的,个式子叠加得,n-1,11,特例.a1=3,an+1=an+2n,求通项公式.,例4,例4已知数列,中，,=3，,+2n，求通项,。,解。,由,+2n,得,2（n-2）,2（n-1）,，,=21,叠加得,n（n-1）,于是,=,+ 3,，,20,模型6,=,（,0 ),解:,由,=,得,以上的 个式子连乘得,f（n,bf（1）f（2） f（n1）,12,特例.a1=5,an+1= 3n an,求通项公式.,或例5,例5已知数列,中，,= 4，,得,求通项,。,解。,由,，,将上
7、述n 1个式子连乘得,21,解法2：取对数（变模型5），用叠加法（自去练）,例6（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， n2，,则an的通项,解：由已知，得,用此式减去已知式，得,当 时,即,又,将以上n个式子相乘，得,模型7.,=q,（q0）,解:,由,=q,两边同除以,得,令,则,（到此，问题转化成了模型5）,13,特例: a1= 5, an+1= 2 an + 4n , 求通项公式.(请自己去完成),例7：08全国卷文1.22,在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n,（）设,证明：数列bn是等差数列；,（）求数列an的前n项和Sn。,07天津卷理21,09湖北卷
8、理19,（2009全国卷理20）（本小题满分12分在数列 中， （I）设 ，求数列 的通项公式 （II）求数列 的前项和,解：,（I）由已知有,利用累差迭加即可求出数列 的通项公式:,（II）由（I）得,=,而,又,是一个典型的错位相减法模型,易得,=,于是,例9：,评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。,模型8,=,，（,0，b0）,解:,将,=,两边取倒
9、数得,则有,（到此，问题转化成了模型3）,令 bn=,an,1,14,特例:,求通项.(请自己去完成),看下叶陕西卷22,08陕西22,（陕西卷22）（本小题满分14分）,已知数列an的首项,（）求an 的通项公式；,（）证明：对任意的,（）证明：,解：,（）,又,是以,为首项，,为公比的等比数列,（）略,（）略,例10：,（2006，江西,理,22）,已知数列an满足：,a1 ，且an,求数列an的通项公式；,解：（1）将条件变为：,1 ,因此1 为一个等比数列，其首项为1 ，,公比,从而1 ,据此得,an （n1）,例11：,模型9数列an中，,（,，求,设,:,解,从而,其中 x、y为方
10、程,的实根，,此时,至此， 转化为模型7。,特例：,求,15,(请自己去完成),练习：06年福建卷文22,递推公式为 （其中p，q均为常数）。,解 (特征根法)：对于由递推公式,给出的数列 ，,方程,叫做数列 的特征方程。,若 是特征方程的两个根，,当 时，数列 的,通项为,，其中A，B由 决定,（即把,和 ，代入,得到关于A、B的方程组）；,当,时，数列 的通项为,其中A，B由 决定（即把,和,代入,得到关于A、B的方程组）。,例12: 数列,中,求,解（特征根法）：的特征方程是：,又由,于是,故,模型10,=,（,0，b0，s0），求,解。令,=,=,，,并令,可解出x的值代入上式，又令,
11、则问题转化成了模型8。,16,例：07全国卷1理22,模型11,解。令,n+1,（s,+ f（n）,且令,由此得来x的值代入上式，,再令 ,则问题转化成了模型7（或3）。,模型12周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。,例13：若数列 满足,若 ，则 的值为 _。,变式:（2005，湖南,文，5）,已知数列 满足 ， 则 = （ ） A0 B C D,（2009北京理）已知数列 满足： 则 _； =_. 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 ， . 应填1，0.,例14已知数列,满足：,（1）,求通项,。,（2）,解。,由（1）（2）得,，
12、则,成等比数列,将,代入（2）得,由前面模型7（或直接由迭代法）可得：,从而,22,说明:双递推数列往往都是先转化为单递推数列后,进而解决的.,例15. 已知数列,前n项和,（1）求,与,的关系；,（2）求通项公式,。,解：（1）由,得：,于是,即,（2）应用模型7的方法，上式两边同乘以,得：,由,，得：,于是数列,是以2为首项，2为公差的等差数列，,23,n, an 中,2n+1,2n+1an+1=2nan+2,就是, ,于是,例16 数列an满足a1=b,an+1=can+d,c0,c1, 证明：通项为,证法一：,由,得,令,则,=,=,bn+1=cbn,且,=an+1-an,所以,=,1
13、,上面的n-1个式子叠加后整理得,=,证法二：（待定系数法）证法三：（数学归纳法）,24,例17:设数列 的前项的和 （）求首项a1与通项an； （）设， ，n=1,2,3, 证明：,解: (),n=1,2,3，,(II),25,（一）有关概念：我们在研究数列an时，如果任一项an与它的前一项,（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。 递推公式是给出数列的一种重要方法。,（二）求递推数列的通项公式的方向，是将其转化为等差数列或等比数列的问题来解决。,7,（三）求递推数列的通项公式的手段，是连续代换，层层化简，最终化为等差数列或等比数列的问题来解决。,（四）求递推数列的通项公式的数学思想是转化化归，高化低、隐化显、生化熟、繁化简。,（五）求递推数列的通项公式的捷径，是记住常见模型、记住相应手段。,（六）求递推数列的通项公式的过程多是：观察调整代换观察调整代换整理出结果。,小结,再见,祝大家周末愉快,
