《2018高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念课件 新人教版必修1（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 奇 偶 性 第1课时 函数奇偶性的概念,【知识提炼】 函数奇偶性的概念,f(x),-f(x),【即时小测】 1.思考下列问题: (1)对于定义在R上的函数f(x),若f(-1)= -f(1),则函数f(x)一定是奇函数吗? 提示:不一定.奇函数定义中要求是对定义域内任意一个x都有f(-x) =-f(x),而非个别自变量的值满足,因而f(x)不一定是奇函数. (2)若函数的定义域关于原点对称,则此函数一定具有奇偶性吗? 提示:不一定.若函数的定义域关于原点对称,但f(x)与f(-x)不满足奇偶函数的关系时,此函数也不具有奇偶性.,2.已知函数f(x)为定义在区间3-a,5上的奇函数,
2、则a= ( ) A.-2 B.3 C.8 D.无法确定 【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以其定义域3-a,5关于原点对称,所以3-a+5=0,所以a=8.,3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)= ( ) A.3 B.-3 C.2 D.7 【解析】选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(-3)=-f(3)=-2,所以f(3)=2,所以f(3)+f(0)=2.,4.函数f(x)=x在定义域R上是 函数(填“奇”或“偶”). 【解析】由于f(-x)= -x = -f(x),故该函数是奇函数. 答案:奇,【知识探究】 知识点
3、1 函数的奇偶性 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:奇函数、偶函数的定义域有什么特征? 问题2:奇函数、偶函数的对应关系有哪些形式?,【总结提升】 1.函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域:由于f(-x)与f(x)都有意义,故-x和x同时属于定义域,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.换言之,若函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性. (2)对应关系:奇函数有f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0 =-1(f(x)0); 偶函数有f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0 =1(f(x)0).,2.函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同
4、,函数的奇偶性也是函数的整体性质. (2)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空集合. (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.,知识点2 奇、偶函数图象的特征 观察图形,回答下列问题: 问题1:以上两个函数图象有什么特征?它们的奇偶性分别是什么? 问题2:奇、偶函数关于原点对称的区间上的单调性有什么特点?,【总结提升】 1.奇、偶函数图象的特征 (1)奇函数:图象关于原点对称,反之,若一个函数的图象关于原点对称,则
5、这个函数是奇函数. (2)偶函数:图象关于y轴对称,反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.,2.函数的奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反.,【题型探究】 类型一 函数奇偶性的判断 【典例】1.(2015南宁高一检测)函数f(x)=|x|+1是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+ (2)f(x)= (3)f(x)=x4+x. (4)f(x)=0.,【解题探究】1.典例1中函数的定义域是什么? 提示:函数的定义域是实数集R.
6、 2.典例2中函数定义域具备什么特点时才能判断其奇偶性? 提示:当定义域关于原点对称时才可以判断函数是否具有奇偶性.,【解析】1.选B.定义域关于原点对称,且f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x), 所以f(x)是偶函数. 2.(1)定义域(-,0)(0,+)关于原点对称,且f(-x)=-f(x),奇函数. (2)定义域为 ,不关于原点对称,该函数不具有奇偶性. (3)定义域为R,关于原点对称, 但f(-x)=x4-xx4+x, f(-x)=x4-x-(x4+x),故其不具有奇偶性. (4)定义域关于原点对称,且f(-x)=0=f(x)=-f(x), 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函
7、数.,【方法技巧】判断函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法: 确定函数的定义域; 看定义域是否关于原点对称, ()不对称,则函数为非奇非偶函数;,(2)图象法: 画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.,【拓展延伸】性质法判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数. (2)奇函数的和、差仍为奇函数. (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数. (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,【补偿训练】判断下列函数的奇偶性：,【解析】(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-
8、f(x); 当x0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0;故该函数为奇函数. (2)画出其图象如图,可见f(x)为奇函数.,类型二 奇、偶函数的图象问题 【典例】奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧图象如图,画出左侧图象,并写出f(x)0的x的取值集合.,【解题探究】本例中函数f(x)是奇函数,其左侧图象与右侧图象有什么关系? 提示:因为奇函数的图象关于原点对称,所以本例中函数的左侧图象与右侧图象是关于原点对称的.,【解析】因为奇函数的图象关于原点对称,所以可得到此函数在y轴左侧的图象如图所示. 由图象可知,当x(-2,0)时,f(x)
9、0, 当x(2,5)时,f(x)0, 故使f(x)0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).,【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小. 【解析】由图象可知,f(1)0,f(3)f(3). 又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3), 故f(-1)f(-3).,2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果又是什么?,【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示, 由图象知,当x(-5,-2)时,f(x)0;当x(2,5)时,f(x)0,所以使
10、f(x)0的x的取值集合为(-5,-2)(2,5).,【方法技巧】 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在0,+)(或(-,0)上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-,0(或0,+)上对应的函数图象.,2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察.,【补偿训练】如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试求f(-2)的值. 【解析】由图象可知,f(2)= ,又因为偶函数的图象关于y轴对称, 因此f(-2
11、)=f(2)= .,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,试画出此函数在y轴左侧的图象,并写出f(x)0的x的取值集合.,【解析】因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可得到此函数在y轴左侧的图象如图所示, 由图象可知当x(-,0)时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)0;故使f(x)0的x的取值集合为(-,0)(0,+).,2.(变换条件)若把本题中的偶函数改为奇函数,其他条件不变,试比较f(-1)与f(-2)的大小. 【解析】由图象可知f(2)f(1).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)= -f(1),f(-2)=-f(2),故f(-2)f(-1).,类型三 利用函数奇偶性求值或
12、求参数 【典例】1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为a-1,2a, 则a= ,b= . 2.(2015连云港高一检测)若已知函数f(x)= 是定义在(-1,1) 上的奇函数,且 求函数f(x)的解析式.,【解题探究】1.典例1中偶函数对应的关系式是什么? 提示:对应的关系式是f(-x)=f(x). 2.典例2中含有两个未知数,应建立什么关系求未知数? 提示:可利用奇函数由f(0)=0求出b,再由 求a.,【解析】1.因为偶函数的定义域关于坐标原点对称, 所以a-1=-2a,解得a= ,所以函数f(x)= x2+bx+b+1,为二次函数, 结合偶函数图象的特点,易得b=
13、0. 答案: 0,2.因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以f(0)=0，即 所以b=0.,【延伸探究】(变换条件)若把本例2中的奇函数改为偶函数， 其他条件不变，则此时函数的解析式又是什么？ 【解析】因为f(x)是定义在(-1，1)上的偶函数， 所以f(-x)=f(x)，即 所以a=0，又因为 所以b=1， 所以f(x)=,【方法技巧】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为a,b,根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.,【变式训练】(20
14、15广州高一检测)已知函数f(x)= 是R上的奇函数. (1)求a的值. (2)用定义证明该函数在1,+)上的单调性. 【解题指南】(1)利用函数是奇函数,由f(0)=0即可得到a的值. (2)利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论.,【解析】(1)因为f(x)= 是R上的奇函数,所以f(0)=0,解得a=0, 此时f(x)= 是奇函数. (2)设x1,x2是1,+)上的任意两个数,且1x10,x1x2-10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在1,+)上是减函数.,【补偿训练】已知定义在(-1，1)上的奇函数f(x)= 求常数m,n的值. 【解析】因为
15、f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，所以f(0)=0， 由f(0)=0得m=0，所以f(x)= 又f(-x)=-f(x)， 即 整理得n=0.,易错案例 判断函数的奇偶性 【典例】函数f(x)= 是_函数.(填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”中的一个),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是没有求出函数的定义域,实际上本题函数的定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数.,【自我矫正】由题意知1-x0,即x1, 所以此函数的定义域为x|x1, 因为定义域不关于原点对称, 所以此函数是非奇非偶函数. 答案:非奇非偶,【防范措施】判断函数奇偶性的两个关注点 (1)函数具有奇偶性的首要条件是定义域关于原点对称,若不对称,则函数一定不具有奇偶性. (2)判断函数奇偶性时,若需要化简函数的解析式,则要注意化简前后的等价性,即化简前后的两个解析式的限制条件要一致.,
