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1、山西,数学,专题二 解答题重难题型突破,探究六 图形变换的探究猜想综合题 图形的变换与证明是关于几何图形的平移，旋转、轴对称、折叠、拼割等方面的综合性问题，这类问题是山西省必考题，试题的难度较大，从实践探究到得出猜想，最后证明和验证都考查学生的综合能力，试题要求根据题目中的图形，分析，归纳，直观地发现共同特征或者变化趋势，考查探究能力；有些题目则需要直观猜想与科学论证，具体应用相结合，解题的方法也更灵活多样，复习中，要体会数学思想方法的应用，总结规律，灵活运用计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等解题方法来解决问题,一、图形平移变换的探究猜想题 在解答平移变换与证明问题时，要注意观察判断，
2、还可以通过测量等手段进行预测，从而得出猜想，在证明时，要明确平移是全等变换，根据其性质解决问题，解答具体问题，要求写出发现的结论时，新叙述的结论要和已知结论不重复，并且正确,【例1】 (2012山西)问题情境：将一副直角三角板(RtABC和RtDEF)按图所示的方式摆放其中ACB90，CACB，FDE90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并写出证明过程,探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：OMON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上的中线，CACB，CO是ACB的角平分线(依据1)OMAC，ONBC，OMON.(依据2),反
3、思交流： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：_等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合) ； 依据2：_角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等) (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程,拓展延伸：,(3)将图中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM，ON，试判断线段OM，ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程,【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可 (2)由C
4、ACB得出AB，由O是AB的中点，得出OAOB，又由OFAC，OEBC，得出AMOBNO90，即可推出OMAONB，得出OMON. (3)证明四边形DMCN是矩形，得出DMCN，MOCNOB，推出OMON，MOCNOB，得出MOCCONNOBCON.求出MONBOC90，即可得答案,解：(2)有CACB，AB，O是AB的中点，OAOB.DFAC，DEBC，AMOBNO90OMAONB(AAS)，OMON (3)OMON，OMON，(注：两个结论都正确只给1分，若此处未写这两个结论，但在证明过程中有这两个结论，且证明正确，可不扣分),对应训练1 (2015山西模拟题)数学活动课上，老师给出如下问
5、题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形ABC与EFD，将EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q.让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系 请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题,展示交流： 小敏：满足条件的图形如图所示，延长BQ与AD交于点H，我们可以证明BCQACD，从而易得BQAD，BQAD. 小慧：根据图，当点F在线段BC上时，我们可以验证小敏的说法是正确的，但当点F在线段CB的延长线上(如图)或线段CB的反向延长线上(如图)时，我对小敏说法的正确性表示怀疑 (1)请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图、图中是否成
6、立？请说明理由(选择图或图中的一种情况说明即可),(2)小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是_ 拓展延伸： 根据你上面选择的图形，分别取AB，BD，DQ，AQ的中点M，N，P，T，则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由,分类思想,二、图形旋转变换的探究猜想题 解答以旋转变换为背景的几何变换综合题时，牢记旋转变换是全等变化，准确分析图形，找准图形变换前后的对应边和对应角，结合特殊几何图形如等腰三角形、等边三角形、正方形等的性质，综合分析解决问题 【例2】 (2013山西)数学活动求重叠部分的面积问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF
7、叠放在一起，其中ACBE90，BCDE6，ACFE8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G.求重叠部分(DCG)的面积,(1)独立思考：请解答老师提出的问题 (2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF绕点D旋转，使DEAB交AC于点H，DF交AC于点G，如图，你能求出重叠部分(DGH)的面积吗？请写出解答过程,【分析】(3)通过第(2)小题的探究，能猜想到结果仍然不变，不需计算，直接写出结果即可此题答案不唯一，语言表述上需要写清“将DEF绕点D旋转”并添加合适的条件能够求出重叠部分的面积即可，画图需要保持图形旋转的不变性 解：此题答案不唯一，示例：如图，将DEF绕
8、点D旋转，使DEBC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分(四边形DMCN)的面积,对应训练2 (2015山西中考信息冲刺卷)问题情景：如图，在ABC中，ABAC，BAC90，D，E分别是AB，AC边的中点，将ADE绕点A顺时针旋转角(090)得到ADE，连接CE，BD，探究CE与BD的数量关系,探究发现： (1)图中，CE与BD的数量关系是_ (2)如图，若将问题中的条件“D，E分别是AB，AC边的中点”改为“点D为AB上一点，DEBC交AC于点E”，其他条件不变，(1)中CE与BD的数量关系还成立吗？说明理由 拓展延伸：,CEBD,(3)如图，在(2)的条件下，连接BE，CD，分别取BC，C
9、D，ED，BE的中点F，G，H，I，顺次连接F，G，H，I得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状，并说明理由 (4)如图，在ABC中，ABAC，BAC60，点D，E分别在AB，AC上，且DEBC，将ADE绕点A顺时针旋转60得到ADE，连接CE，BD.请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题(例如：CE与BD相等吗？),三、图形轴对称变换的探究猜想题 折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等根据其性质解决问题，准确分析图形，找准图形变换前后的对应边和对应角，结合特殊几何图形的性质，综合分析解决问题 【例3】 (2014山西)课题学
10、习：正方形折纸中的数学 动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B. 数学思考：(1)求CBF的度数；(2)如图，在图的基础上，连接AB，试判断BAE与GCB的大小关系，并说明理由,解决问题：,(3)如图，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O； 第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B；再沿直线AH折叠，使
11、D点落在EF上，对应点为D； 第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接BP、PD、DQ、QB. 试判断四边形BPDQ的形状，并证明你的结论,【分析】(1)CBF是RtCBF的一个内角，所以想到由直角三角形的边角关系借助锐角三角函数值求出CBF的度数 (2)连接BD由等边三角形、正方形的性质，求出BDA的度数，再根据等腰三角形及直角三角形两锐角互余的性质求得BAE的度数，根据折叠及平行线的性质求出GCB即可 (3)观察图形，由正方形的性质可知四边形BPDQ的对角线BDPQ，于是猜想四边形可能是菱形或正方形，于是本题要探究的是OQ和OP、OB和OD，BD和PQ的关系，若对角线互相平分则是
12、菱形，若平分且相等则是正方形，即四边形BPDQ为正方形,对应训练3 (2015山西中考信息冲刺卷)折纸活动： 第一步，我们在宽为6 cm的矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 第三步，折出内侧矩形的对角线FD，并把它折到图所示的FG处 第四步，,解：(3)证明：由翻折知FGDF，HFGDFH.DHFG，DHFHFG.DHDF.DHFG.四边形DFGH是平行四边形又FGDF，平行四边形DFGH是菱形,(4)如图，将正方形的边BC沿CM折叠，使点B落在EF上(点N处)，此时BCMMCNCNO30.理由如下：设CM交E
13、F于点O，由平行线等分线段定理，ABEFDC，且BFCF，OCOM.在RtMNC中，ONOCOM.ONCOCN.EFDC，ONCNCD.又BCMMCN，BCMMCNNCDBCD90，BCMMCNCNO30,四、图形综合变换的探究猜想题 几何图形的综合变换包括立体图形的平面展开；平面图形的剪切、分割、拼组等其他方面的图形变换解答时，要注意观察判断，还可以通过测量，动手操作，找准图形变换前后的对应边和对应角，结合三角形的全等，相似以及特殊几何图形的判定和性质，综合分析解决问题,【例4】 (2015山西)综合与实践：制作无盖盒子 任务一：如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形
14、，折成高为4 cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计) (1)请在图的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕 (2)请求出这块矩形纸板的长和宽,任务二：图是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图是其底面，在五边形ABCDE中，BC12 cm，ABDC6 cm，ABCBCD120，EABEDC90. (1)试判断图中AE与DE的数量关系，并加以证明 (2)图中的五棱柱盒子可按图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm? 请直接写出结果(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕纸板厚度及剪切接缝处损耗均忽略不计),解：任务一
15、：(1)按要求画出示意图(如右图) (2)解：设矩形纸板的宽为x cm，则长为2x cm.由题意得，4(x24)(2x24)616.解得x115，x23(不合题意，舍去).2x21530.答：矩形纸板的长为30 cm，宽为15 cm,对应训练4 (2015山西百校联考)概念理解： 把一个图形或几个图形分割后，不重叠，无缝隙地重新拼成另一个图形的过程叫做“分割重拼” 如图，平行四边形可以分割重拼为一个三角形； 如图，任意两个正方形可以分割重拼为一个正方形；,实践操作： (1)如图是由八个边长为1的小正方形组成的图形，将它进行适当地分割重拼，拼为一个平行四边形，将这个平行四边形画在图的网格中；,阅读思考： 如何把一个矩形ABCD(如图)分割重拼为正方形呢？操作如下： 画辅助图(如图)：作射线OX，在射线OX上截取OMAB，MNB
