《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.1 椭圆的概念及其性质课件(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.1 椭圆的概念及其性质课件(理)（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 椭 圆 第一课时 椭圆的概念及其性质,【知识梳理】 1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离_等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的_,两焦点间的距离叫做椭圆的_.,之和,焦点,焦距,(2)集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0. 当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆; 当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2; 当2a|F1F2|时,M点的轨迹不存在.,2.椭圆的标准方程和几何性质,-b,b,-a,a,坐标轴,原点,-a,a,-b,b,(-a,0),(a,0),(0,-b),(
2、0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2c,(0,1),b2+c2,【特别提醒】 1.在求椭圆的离心率时,椭圆中a,b,c之间的关系容易忽略. 2.椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度:离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越圆.,3.方程Ax2+By2=1(AB0)表示椭圆的充要条件是A0,B0且AB.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P49T2(1)改编)已知椭圆 =1的 焦点在x轴上,焦距为4,则m等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5,【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. 所以 解得6m10. 因为焦距为4, 所以c2=
3、m-2-10+m=4, 解得m=8.,2.(选修2-1P49T5(3)改编)已知椭圆的一个焦点为F(1, 0),离心率为 ,则椭圆的标准方程为 .,【解析】设椭圆的标准方程为 =1(ab0). 因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e= , 所以 故椭圆的标准方程为 答案:,感悟考题 试一试 3.(2016南昌模拟)矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,【解析】选D.依题意得|AC|=5,所以椭圆的焦距为2c= |AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长为2b=,4.(201
4、5全国卷)一个圆经过椭圆 =1的三个 顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .,【解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=r2, 依题意得 解得a= ,r2= ,所以圆 的方程为 答案:,5.(2016三明模拟)已知椭圆 =1(ab0)的两 焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .,【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A, 则|AF1|=c,|AF2|= c,有2a=(1+ )c,所以e= 答案: -1,考向一 椭圆的定义及应用 【典例1】(1)(2016毕节模拟)点M为圆P内不同于圆 心的定点
5、,过点M作圆Q与圆P相切,则圆心Q的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.圆或线段 D.线段,(2)已知F1,F2是椭圆C: (ab0)的两个焦点, P为椭圆C上的一点,且 若PF1F2的面积为9, 则b= .,【解题导引】(1)设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时 (非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,可得轨迹. (2)注意到点P在椭圆上,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出 的值,进而可求得b的值.,【规范解答】(1)选B.设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时(非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,轨迹为椭圆.,(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a, , 所以|PF1
6、|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2, 所以2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1|PF2|=2b2,所以 = |PF1|PF2|= 2b2=b2=9. 所以b=3. 答案:3,【母题变式】 1.将本例(2)中条件“ ”“PF1F2的面积为9” 分别改为“F1PF2=60”“ =3 ”,则结果如 何?,【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a, 又F1PF2=60, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF
7、2|=4c2, 所以3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2, 所以|PF1|PF2|= b2,所以 = |PF1|PF2|sin60= 所以b=3.,2.将本例(2)中条件“PF1F2的面积为9”去掉,试求离心率的取值范围.,【解析】因为P为椭圆上的一点,且 , 所以bc, b2c2,a2-c2c2, ,又因为e是椭圆的离心率, 所以 e1.,【规律方法】 1.椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题.,2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|
8、PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等.,【变式训练】(2016南昌模拟)设F1,F2分别是椭圆E: x2+ =1(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于 A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= ( ),【解析】选C.设椭圆E: (0b1),知a=1, 因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2, 两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4, 所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. 因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|,
9、于是2|AB|=4-|AB|, 所以|AB|= .,【加固训练】 1.(2016郑州模拟)已知椭圆 =1(0b2)的左、 右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若 |BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是 ( ),【解析】选D.由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可 知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|) 3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点 所在坐标轴的弦最短,则 =3.所以b2=3,即b= .,2.(2016苏州模拟)已知椭圆的方程是 =1(a5), 它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8
10、,弦AB(椭圆上任 意两点的线段)过点F1,则ABF2的周长为 .,【解析】因为a5,所以椭圆的焦点在x轴上.因为|F1F2| =8,所以c=4,所以a2=25+c2=41,则a= .由椭圆定义, |AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,所以ABF2的周长为4a= 4 . 答案:4,3.点P是椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦 点,且PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点 的纵坐标为 .,【解析】依题意得:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6, = (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)1=8= |F1F2|yP=3yP,所以 yP= . 答案:,
11、考向二 椭圆的标准方程及其应用 【典例2】(1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为 ( ),(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左、右焦 点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|, AF2x轴,则椭圆E的方程为 .,【解题导引】(1)可利用已知条件确定椭圆的焦点与顶点,进而确定椭圆的方程. (2)可将|AF1|=3|F1B|转化为向量之间的关系,利用向量的坐标得出关于b的方程,解方程即可求解.,【规范解答】(1)选C.直线与坐标轴的交点为(0,1), (-2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1, 所
12、以a2=5,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 当焦点在y轴上时,b=2,c=1, 所以a2=5,所求椭圆标准方程为 =1.,(2)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c= 则可设A(c,b2),B(x0,y0), 由|AF1|=3|F1B|, 可得 故 即,代入椭圆方程可得 =1,解得b2= ,故椭圆 方程为x2+ =1. 答案:x2+ y2=1,【规律方法】求椭圆标准方程的两种常用方法 (1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.,(2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和
13、y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).,【变式训练】(2016宜昌模拟)设是ABC的一个内 角,且sin+cos= ,x2sin-y2cos=1表示( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线,【解析】选B.因为(0,),且sin+cos= ,两 边平方可得,sincos= 0,所以, , 且|sin|cos|,所以x2sin-y2cos=1表示焦点 在y轴上的椭圆.,【加固训练】 1.已知椭圆C: =1(ab0)的左、右焦点为F1,F2, 离心率为 ,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1
14、B的 周长为4 ,则C的方程为 ( ),【解析】选A.因为AF1B的周长为4 ,所以4a=4 , 所以a= ,因为离心率为 ,所以c=1,所以b= ,所以椭圆C的方程为 =1.,2.(2016常州模拟)若方程 =1表示椭圆,则 k的取值范围是 . 【解析】由已知得 解得3k5且k4. 答案:(3,4)(4,5),考向三 椭圆的几何性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求椭圆离心率(或范围) 【典例3】(2015福建高考)已知椭圆 E: =1(ab0)的右焦点为F,短 轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭 圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小,于 ,
15、则椭圆E的离心率的取值范围是 ( ),【解题导引】由点M到直线l的距离不小于 ,可得出b 的范围,从而求出离心率的范围.,【规范解答】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由 椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所 以四边形AFBF2为平行四边形,所以|AF|+|BF|=|BF2|+ |BF|=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d= b b1, 所以e= 又e(0,1),所以e ,【易错警示】解答本题易出现以下错误: 本题利用点到直线的距离公式,求出b的取值,易将公式记错而导致错误,再者是出现运算错误;还有一点是利用椭圆中a,b,c之间的关系时易与双曲线中a,b,c之间的关系记混出现错误.,命题方向2:依据椭圆的性质求值或范围 【典例4】(2016宝鸡模拟)已知椭圆 =1,A,B 是其左右顶点,动点M满足MBAB,连接AM交椭圆于点P, 在x轴上有异于点A,B的定点Q,以MP为直径的圆经过直 线BP,MQ的交点,则点Q的坐标为 .,【解题导引】取M的坐标,进而得出MA,MQ的方程,从而可求出点Q的坐标.,【规范解答】方法一:设M(2,t),P(x0,y0),则由A,P,M 三点共线,得
