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1、章末总结,网络建构,知识辨析,判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”) 1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点. ( ) 2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.( ) 3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.( ) 4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.( ) 5.平行于同一条直线的两个平面平行.( ) 6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.( ) 7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.( ) 8.垂直于同一条直线的两个平面平行.( ),主题串讲 方法
2、提炼总结升华,一、平面基本性质的应用 【典例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由.,解:在平面AA1D1D内,延长D1F, 因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点, 设为P,则PFD1,PDA. 又因为D1F平面BED1F,DA平面ABCD, 所以P平面BED1F,P平面ABCD, 所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.,规律方法 证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共
3、面且相交于一点;然后证明这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.也可以证明直线a、b相交于一点A,直线b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.,即时训练1-1:如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EG与HF的交点在直线AC上.,证明:(1)因为BGGC=DHHC,所以GHBD. 因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,所以EFGH, 所以E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以
4、EFGH,且EFGH, 所以EG与FH必相交,设交点为M,而EG平面ABC,HF平面ACD, 所以M平面ABC,且M平面ACD,所以MAC, 即EG与HF的交点在直线AC上.,二、空间线面位置关系的证明 【典例2】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,BAC=90,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点. (1)证明:A1M平面MAC;,证明:(1)因为A1A平面ABC,AC平面ABC,所以ACA1A, 又因为BAC=90,所以ACAB, 因为AA1平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,AA1AB=A, 所以AC平面AA1B1B,又A1M平面AA1B1B,所以A1M
5、AC. 又因为四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,所以A1MMA, 因为ACMA=A,AC平面MAC,MA平面MAC,所以A1M平面MAC.,(2)证明:MN平面A1ACC1.,证明:(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,所以MNAC1.又MN平面A1ACC1,AC1平面A1ACC1,所以MN平面A1ACC1.,规律方法 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有: (1)平行关系的转化.,(2)垂直关系的转化. 线线垂直 线面垂直 面面垂直,(3)平行与垂直的转化.,即时训练2-1:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
6、是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F. (1)证明:平面PAC平面PBD;,证明:(1)由底面ABCD是正方形,知ACBD, 由侧棱PD底面ABCD,及AC平面ABCD知ACPD. 又PDBD=D, 故AC平面PBD. 又AC平面PAC, 从而,由平面与平面垂直的判定定理知,平面PAC平面PBD.,(2)证明:PB平面EFD.,证明:(2)在PDC中,由PD=DC,E是PC的中点,知DEPC. 由底面ABCD是正方形,知BCDC, 由侧棱PD底面ABCD,BC底面ABCD,知BCPD. 又DCPD=D,故BC平面PCD. 而DE平面PCD,所以DE
7、BC. 由DEPC,DEBC及PCBC=C,知DE平面PBC. 又PB平面PBC,故DEPB. 又已知EFPB,且EFDE=E, 因此PB平面EFD.,三、空间位置关系的证明与空间角的计算 【典例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上. (1)证明:PEFG;,(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点, 所以PEDC. 又因为平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=DC, 所以PE平面ABCD. 又FG平面ABCD,所以PEFG.,(2)求二面角P-AD-C的正切值.,规律方法
8、 求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类: 两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角. 求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影. 求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.,即时训练3-1：如图,已知二面角-MN-的大小为60,菱形ABCD在平面内,A,B两点
9、在棱MN上,BAD=60,E是AB的中点,DO平面,垂足为O. (1)证明:AB平面ODE;,(1)证明:如图,因为DO,AB,所以DOAB. 连接BD,由题设知,ABD是正三角形, 又E是AB的中点,所以DEAB,DODE=D, 故AB平面ODE.,(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.,四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算 【典例4】 如图甲,O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使CAB =45,DAB=60.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P为AC上的动点,根据图乙解答下列各题:,(1)求三棱锥D-ABC的体积
10、; (2)求证:不论点P在何位置,都有DEBP;,(2)证明:因为PAC,所以P平面ABC, 所以PB平面ABC. 又由(1)知,DE平面ABC, 所以不论点P在何位置,都有DEBP.,(3)在 上是否存在一点G,使得FG平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.,规律方法 (1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化: 等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解. 补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解.
11、分割法:将几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和. (2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.,即时训练4-1:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点. (1)求证:DE平面ABC;,(1)证明:取BC中点G,连接AG,EG,因为E是B1C的中点,所以EGBB1, 且EG= BB1. 由直棱柱知AA1BB1,AA1=BB1,而D是AA1的中点, 所以EGAD,EG=AD,所以四边形EGAD是平行四边形, 所以EDAG
12、,又ED平面ABC,AG平面ABC, 所以DE平面ABC.,(2)求三棱锥E-BCD的体积.,五、易错题辨析 【典例5】 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点, 且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.,错解:因为平面A1ADD1平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1平面BFD1E,BF=平面B1BCC1平面BFD1E,所以D1EFB.同理可得D1FEB. 所以四边形EBFD1是平行四边形. 纠错:错解中盲目地认为E,B,F,D1四点共面,由已知条件并不能说明这四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到.,真题体验 真题引领感悟提升,1.
13、(2016全国卷,理11)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ),A,2.(2017全国卷,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( ),A,解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在ACB中,OQ为中位线,所以OQAB,OQ平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.,3.(2016全国卷,理14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn
14、,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号),解析:可能有m,即,得错,正确. 答案:,4.(2017全国卷,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP =90. (1)证明:平面PAB平面PAD;,(1)证明:由已知BAP=CDP=90, 得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.,5.(2016全国卷,文19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点, AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB;,(2)求四面体N-BCM的体积.,谢谢观赏！,
