《2018高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,【知识提炼】 1.函数的零点 (1)概念:函数f(x)的零点是使_的实数x. (2)函数的零点与函数的图象、对应方程的根的关系:,x轴,f(x)=0,f(x)=0,2.函数零点的判断 (1)条件:函数y=f(x)在区间a,b上的图象是_的一条曲 线._0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得 _,这个c也就是方程f(x)=0的根.,连续不断,f(a)f(b),f(c)=0,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)函数的零点是一个点吗? 提示:不是.函数的零点是一个实数,不是一个
2、点. (2)任何函数都有零点吗? 提示:不是.如果函数的图象与x轴没有交点,则该函数就没有零点,如 函数f(x)= 就没有零点.,2.下列各图象表示的函数中没有零点的是 ( ),【解析】选D.由图象可知,只有选项D中的函数图象与x轴 无交点.,3.若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则a的值等于 ( ) A.4 B.-4 C.- D. 【解析】选D.因为4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点, 所以a42-2log24=0,解得a= .,4.函数f(x)=x2-5x的零点是 . 【解析】令x2-5x=0,解得x1=0或x2=5, 所以函数f(x)=x2-5x的零点是0和5.
3、答案:0和5,【知识探究】 知识点1 函数的零点 观察图形,回答下列问题: 问题:如图为函数f(x)在-4,4上的图象,根据函数的图象,你能否得出方程f(x)=0的根的个数?方程的根与对应函数的图象有什么关系?,【总结提升】 1.对函数零点概念的三点说明 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就没有零点.,(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函
4、数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.,2.基本初等函数的零点,知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题: 问题1:根据函数的图象可知函数的零点是什么? 问题2:判断f(0)f(2),f(2)f(4)的符号如何?由此可得到函数在某一区间内存在零点应具备什么条件?,【总结提升】 1.函数f(x)在区间a,b上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在a,b上与x轴有唯一公共点或f(x)在a,b上满足以下三条: 图象是连续不断的一条曲线; f(a)f(b)0; f(x)在a,b上是单调函数.,(2)有多个零点: 此时f(x)在a,b上满足情况(1)中的且图象多次与x轴相交.
5、(3)无零点: f(x)在a,b上的图象不是连续不断的,如y= 在-1,0)(0,1上无零点; f(x)在a,b上的最小(大)值都大(小)于零,如y=(x+1)2+1.,2.对函数零点判断的四点说明 (1)存在性:“若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性. (2)唯一性:若f(a)f(b)0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.,(3)两个条件:在a,b上函数图象连续不断;端点函数值异号即 f(a)f(b)0,缺一不可.如f(x)= ,有f(-1)f(1)0,但f(x)
6、在 (-1,1)上没有零点,原因是f(x)= 的图象在(-1,1)上不是连续不 断的. (4)不可逆性:对函数零点的判断方法,反过来不成立,即f(x)在(a,b) 内存在零点,不一定有图象连续不断,也不一定有f(a)f(b)0.,【题型探究】 类型一 函数零点的概念及求法 【典例】1.(2015长治高一检测)函数y=4x-2的零点是 ( ) A.2 B.(-2,0) C. D. 2.若函数y=-x+2m的零点是2,则m= . 3.(2015临汾高一检测)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求a和b的值.,【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=
7、4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),23=-b.,【解析】1.选D.令4x-2=0,解得x= ,函数的零点是实数,故函数y=4x-2的零点是 . 2.由于函数y=-x+2m的零点是2,故-2+2m=0,解得m=1. 答案:1 3.由函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2,3. 所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根, 由根与系数的关系可得:2+3=-(-a),23=-b, 所以a=5,b=-6.
8、,【方法技巧】函数零点的求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,【变式训练】(2015沧州高一检测)求函数f(x)=-x2-2x+3的零点,并画出它的图象. 【解题指南】解方程-x2-2x+3=0可得函数f(x)的零点,即得函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,再求出函数图象的顶点坐标,用平滑的曲线连接这三点即可粗略地画出函数f(x)的图象.,【解析】因为方程-x2-2x+3=0的两个实数根为-3,1, 因此f(x)=-x2-2x+3的零点为-
9、3,1. 即f(x)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0). 此函数的顶点坐标为(-1,4),图象如图:,类型二 确定函数零点的个数 【典例】(2015大连高一检测)求函数f(x)=ln(x-1)的零点的个数. 【解题探究】典例中要求函数的零点个数,可使函数值等于多少进行求解? 提示:使该函数值等于0,求方程的根即可.,【解析】令f(x)=ln(x-1)=0, 则有x-1=1,解得x=2, 故函数f(x)=ln(x-1)的零点是2, 所以函数只有一个零点.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ex-1”,则函数又有几个零点? 【解析】令f(x)=ex-1=0,即ex
10、=1, 所以x=0,故该函数只有一个零点.,2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ln(x-1)+0.01x”,又如何判断该函数零点的个数? 【解析】方法一:因为f(3)=ln2+0.030,f(1.5)=-ln2+0.0150,所以f(3)f(1.5)0, 说明函数f(x)=ln(x-1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点. 又y=ln(x-1)与y=0.01x在(1,+)上都是增函数,所以该函数只有一个零点.,方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= l
11、n(x-1)+0.01x有且只有一个零点.,【方法技巧】确定函数零点个数的方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点. (2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数. (3)结合函数的单调性.若函数在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)f(b)0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题.,【补偿训练】判断函数f(x)=x2- 零点的个数. 【解题指南】本题求函数的零点可直接令f(x)=x2- =0,解相应的方 程即可;或转化为两个熟知的基本初等函数y=x2与y= ,看
12、两个函数 图象的交点即可.,【解析】方法一:令x2- =0,得x2= , 即x3=1,解得x=1. 故函数f(x)=x2- 只有一个零点.,方法二:由x2- =0,得x2= . 令h(x)=x2(x0), g(x)= , 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2- 只有一个零点.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将函数变为“f(x)=x2+ ”,判断该函数零点的个数. 【解析】令f(x)=x2+ =0,即x3+1=0, 解得x=-1,故该函数只有一个零点.,2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=x2-lg ”,又如何判断函数零点的个数?
13、 【解析】由f(x)=x2-lg =0,得x2=lg , 即x2=-lgx,令h(x)=x2,g(x)=-lgx(x0), 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示:,由图象可知两函数图象只有一个交点, 故函数f(x)=x2-lg 只有一个零点.,类型三 确定函数零点所在的区间 【典例】1.(2015通化高一检测)函数f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(1,e)和(3,4) D.(e,+),2.(2015德州高一检测)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如 下表: 不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根
14、所在区间是 ( ) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-,-3)和(4,+),【解题探究】1.典例1中可转化为哪两个函数图象来确定零点所在的 区间? 提示:可令lnx- =0,则lnx= ,可转化为函数h(x)=lnx,g(x)= , 利用其图象的交点位置进行判断. 2.典例2中表中的数值如何利用? 提示:观察表中的数值,可知f(-3)=60, f(-1)=-40,所以在(2,4)内必有根.,【解析】1.选B.首先结合y=lnx和y= 的图象知交点只有一个,且交 点横坐标在区间(1,e)上,可以排除C,D.然后由f(1)=-2
15、0,得f(2)f(3)0,f(-1)=-40,所以在(2,4)内必有根. 结合选项可判断选A.,【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.,【变式训练】(2015六安高一检测)在区间(3,5)上有零点的函数 是 ( ) A.f(x)=2xln(x-2)-3 B.f(x)=-x3-3x+5 C.f(x)=2x-4 D.f(x)=- +2 【解析】选A.对于A,f(x)在(3,5)
16、上有意义,且f(3)=-310lne-3=10-30,所以f(x)=2xln(x-2)-3在区间(3,5)上有零点.,【补偿训练】函数f(x)=lgx- 的零点所在的大致区间是( ) A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10) 【解析】选D.因为f(6)=lg6- =lg6- 0,所以f(9)f(10)0,所以f(x)=lgx- 的零点 的大致区间为(9,10).,易错案例 根据函数的零点求参数的取值范围 【典例】(2015舟山高一检测)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个负零点,则实数a的取值范围为 .,【失误案例】,【错解分析】分析以上的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是f(x)=ax2-x-1中二次项系
