《2018高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教版必修4（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.3 正切函数的性质与图象,【知识提炼】 函数y=tanx的图象和性质,R,奇函数,【即时小测】 1.判断 (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数.( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( ) (4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形.( ),【解析】(1)错误.正切函数的定义域为x|xk+ ，kZ，值域为R. (2)错误.正切函数在(k- ，k+ )，kZ是增函数，在整个定义域上不具有单调性. (3)正确.正切函数在定义域内值域为R，无最大值、最小值. (4)错误.正切函数的图象是中心对称图形，但不是轴对称图形. 答案：
2、(1) (2) (3) (4),2.函数y=tan(x- )的定义域为_. 【解析】函数的自变量x应满足x- k+ ，kZ. 即xk+ ，kZ. 所以，函数的定义域为x|xk+ ，kZ. 答案：x|xk+ ，kZ,3.函数y=tan( x-3)的周期为_. 【解析】由于f(x)=tan( x-3)=tan( x-3+) =tan (x+4)-3=f(x+4). 因此函数的周期为4. 答案：4,4.函数y=tan x，x 的值域为_. 【解析】因为y=tan x在 上是增函数， 且tan(- )=-1，tan = 所以函数的值域为-1， . 答案：-1， ,5.比较大小：tan 167_tan
3、173(填“”或“”). 【解析】因为90167173180， 且y=tan x在( ，)上是增函数. 所以tan 167tan 173. 答案：,【知识探究】 知识点1 正切函数的性质 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：正切函数在定义域上是单调函数吗？是周期函数吗？ 问题2：正切函数是奇函数还是偶函数？,【总结提升】 1.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性. (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在( ),( )，上都是增函数. (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在( )( )上是增函数.,2.确定正切
4、函数奇偶性的步骤 (1)确定定义域x|xk+ ，kZ关于原点对称. (2)由诱导公式：tan(-x)=-tan x，知正切函数是奇函数. 3.函数y=Atan(x+)+k(0)周期的计算公式 一般地，函数y=Atan(x+)+k(0)的最小正周期,知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题： 问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？,【总结提升】 1.正切函数图象的两种作法 (1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(- ，-1)，(0，0)，( ，1)，“两线”是指x
5、=- 和x= ，大致画出正切函数在(- ， )上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线.,2.正切函数图象的对称性 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是( ，0)(kZ)，不存在对称轴. (2)渐近线：直线x=k+ (kZ)称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线.,【题型探究】 类型一 正切函数的定义域问题 【典例】(2015益阳高一检测)若f(x)= ，求函数的定义域为. 【解题探究】本例中解三角不等式tan xm的基本方法是什么？ 提示：数形结合，求y=tanx的图象在y=m上方的点的横坐标的取值范
6、围.,【解析】由tan x- 0，得tan x ， 利用图象知，所求定义域为k+ ，k+ )(kZ). 答案：k+ ，k+ )，kZ,【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)将本例函数改为f(x)=tan(2x+ )，求与此函数图象不相交的与x轴垂直的直线方程. 【解析】由 得 ，kZ， 所以所求直线方程为x= ，kZ.,2.(变换条件)将本例函数改为“ ”，其定义域又是什 么？ 【解析】根据题意，得 解得 所以函数的定义域为,【方法技巧】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义即x +k
7、，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解. (2)求正切型函数y=Atan(x+)(A0，0)的定义域时，要将“x+”视为一个“整体”.令x+k+ ，kZ，解得x.,(3)解形如tan xa的不等式的步骤,【变式训练】函数 的定义域是_. 【解析】x应满足 所以 所以0x 或x4， 所以所求定义域为(0， )，4 答案：(0， )，4,【延伸探究】 1.(变换条件)将本题中“tanx”改为“tanx+1”，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】x应满足 即 所以 所以0x 或 x4. 所以所求定义域为(0， ) ，4.,2.(变换条件、改变问法)，将本题函数改为“ ”试画出此函数
8、在0，上的图象. 【解析】由tan x0，x0，解得x0，且x 且x. 其图象如下.,类型二 正切函数单调性的应用 【典例】1.(2015上海高一检测)函数y=tan( -x)的单调递减区间是. 2.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小. (1)tan 220与tan 200.(2)tan 与,【解题探究】1.典例1中y=tan( -x)的单调性与y=tan(x- )的单调性有什么关系？ 提示：y=tan( -x)的单调递减区间是y=tan(x- )的单调递增区间. 2典例2中，比较两个正切值的大小，首先要如何变形？ 提示：先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上.,【解析】1
9、.因为 所以y=tan( -x)的单调递减区间是y=tan(x- )的单调递增区间. 由k- x- k+ ，kZ得 k- xk+ ，kZ， 所以函数y=tan( -x)的单调递减区间是(k- ，k+ )kZ. 答案：(k- ，k+ )kZ,2.(1)因为tan 220=tan(180+40)=tan 40， tan 200=tan(180+20)=tan 20， 且y=tan x在0x90是增函数， 所以tan 40tan20 ，即tan 220tan 200.,(2) 因为 y=tanx在( )上单调递增， 所以 即,【延伸探究】将本例1中的函数改为 ，试求此函数的单调递增区间. 【解析】由
10、 kZ得 kZ. 所以函数的单调递增区间为,【方法技巧】 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.,2.求函数y=Atan(x+)(A， 都是常数)的单调区间的方法 (1)若0，由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k- x+k+ ，kZ，解得x的范围即可. (2)若0，可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y= Atan-(-x-)=-Atan(-x-)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.,【变式训练】试用正切函数的单调性比较tan
11、 8和tan( )的大小. 【解题指南】先用诱导公式将已知角绝对值化小，再用单调性比较大小.,【解析】因为tan 8=tan(-3+8)=-tan(3-8)， tan( )=tan(-9- )=-tan ， 因为3-8- = -8= -1)0， 3-8- = -8= (5-16)-tan(3-8)， 即tan 8,【补偿训练】tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为_. 【解析】y=tan x在区间( )上是单调增函数，且tan 1= tan(+1)，又 234+1 ，所以tan 2tan 3tan 4tan 1. 答案：tan 2tan 3tan 4tan 1,类型
12、三 正切函数奇偶性与周期性的应用 【典例】1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan x(为常数，且0)相交的两个相邻点间的距离为( ) 2.(1)求函数 与函数f(x)=tan x+|tan x|的最小正周期. (2)判断函数g(x)= tan 2x的奇偶性.,【解题探究】1.典例1中，两个相邻交点的距离有什么意义？ 提示：两个相邻交点的距离是周期. 2.典例2(1)中，求周期的方法是什么？(2)中判断奇偶性的步骤是什么？ 提示：求y=Atan(x+)的周期可依据公式 其他形式的函数可考虑图象法.判断奇偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对称，若对称再判断f(-x)与f(x)的关系，最
13、后依据奇偶性定义回答.,【解析】1.选C.因为直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan x相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期， 又因为y=tan x的周期是 ，所以直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan x相交的相邻两点间的距离是,2.(1)函数 的最小正周期为T= ；f(x)=tan x+ |tan x|= 作出f(x)=tan x+|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)= tan x+|tan x|的周期T=.,(2)函数g(x)= tan 2x的定义域是x|x ，kZ，关于坐标原点对称， 又g(-x)= tan(-2x)=- tan 2x=-g(x)， 所以函数g(
14、x)= tan 2x是奇函数.,【方法技巧】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y=Atan(x+)的最小正周期为T= ，常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.,【变式训练】1.(2015南昌高一检测)给出如下四个函数 f(x)=5sin(x- )；f(x)=cos(sin x)；f(x)=xsin2x； f(x)= ，其中奇函数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选B.是非奇非偶函数；定义域为R.f(-x)=
15、 cos(sin(-x)=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x)是偶函数； 定义域为R，f(-x)=-xsin2(-x)=-xsin2x=-f(x)，是奇函数；定义域由1-tan2x0得tan x1，x|xk 且xk+ ，kZ，关于原点对称f(-x)= =-f(x)是奇函数.,2.已知函数f(x)=2tan(kx+ )的最小正周期T满足1T2，求自然数k的值. 【解析】T= ，由1 2得 k，而kN，所以k=2或3.,【补偿训练】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)= (2)f(x)= 【解析】(1)由 得f(x)的定义域为x|xk+ 且xk+ ，kZ， 不关于原点对称， 所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数.,(2)函数定义域为 x|xk+ 且xk+ ，kZ 关于原点对称， 又f(-x)=tan
