《2018高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用举例 第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用举例 第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例课件 新人教版必修1（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例,【知识提炼】 1.指数函数模型 (1)表达形式:f(x)=_. (2)条件:a,b,c为常数,a0,b0,b1. 2.对数函数模型 (1)表达形式:f(x)=_. (2)条件:m,n,a为常数,m0,a0,a1.,abx+c,mlogax+n,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质? 提示:主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢.,(2)数据拟合时,得到的函数为什么需要检验? 提示:因为根据已给的数据,作出散点图,根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合,但用得到的函数进行估计时,可能误差较
2、大或不切合客观实际,此时就要再改选其他函数模型.,2.某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y=1024e-5x, 则 ( ) A.该函数是增函数 B.该函数是减函数 C.x= D.当x=0时,y=1 【解析】选B.显然该函数是减函数,B正确,C,D变形或求值错误.,3.某电子产品的价格为a元,降价10%后,又降价10%,销售量猛增,该公司决定再提价20%,提价后这种电子产品的价格为 ( ) A.0.972元 B.0.972a元 C.0.96元 D.0.96a元 【解析】选B.a(1-10%)2(1+20%)=0.972a.,4.已知函数f(x)定义在(0,+)上,测得f(x)的一组函数
3、值如表: 试在函数y= ,y=x,y=x2,y=2x-1,y=lnx+1中选择一个函数来描述,则这个函数应该是 .,【解析】通过表中数值,画出散点图,可判断此图象增长的比较缓慢,更符合y=lnx+1来描述. 答案:y=lnx+1,【知识探究】 知识点 指数型、对数型函数模型的应用举例 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:应按照怎样的步骤解应用题? 问题2:根据收集到的数据的特点如何建立拟合函数模型?,【总结提升】 1.解函数模型确定的应用题的基本步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数
4、学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学模型. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.,2.拟合函数模型的应用题的解题步骤 (1)作图:即根据已知数据,画出散点图. (2)选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图象特征,找几个比较接近的函数模型尝试. (3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式. (4)检验:将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证、得出最适合的函数模型.,【题型探究】 类型一 指数函数模型 【典例】1.(2015怀柔高一检测)某企业生产总值的月平均增长率为p,则年(1年为12个月)平均增长率为 .,2.(2
5、015汉沽高一检测)医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,病毒细胞的个数与天数的记录如下表:,已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候将死亡.但注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%. (1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天,lg2=0.3010) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天),【解题探究】1.典例1中12月底的生产总值是多少? 提示:设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为a(1+p)12. 2.典例2中属于哪方面的数学问题,应首
6、先建立哪两个量之间的关系? 提示:这个问题属于增长率问题,首先建立病毒细胞的个数与天数之间的关系式,然后通过研究函数关系式对问题作出解答.,【解析】1.设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为a(1+p)12, 故年平均增长率为 =(1+p)12-1. 答案:(1+p)12-1,2.(1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞的个数y关于天数n(nN*)的函数关系式为y=2n-1(nN*).为了使小白鼠在试验过程中不死亡,则2n-1108,两边取对数,解得n27,即第一次最迟应在第27天注射该种药物. (2)由题意知第一次注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%.再经过x天后小白鼠体内
7、的病毒细胞个数为2262%2x,由题意2262%2x108,两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg28,解得x6,即再经过6天必须注射药物,即第二次最迟应在第33天注射药物.,【方法技巧】解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较. (2)具体分析问题时,应严格计算并写出前34个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再概括为数学问题,最后求解数学问题即可.,【变式训练】光线每透过1块玻璃,其强度就要减弱 ,要使光线的强 度减弱
8、到原来的 以下,则至少要透过 块这样的玻璃.,【解析】设刚开始的光线强度为1，则透过1块这样的玻璃后，光线强 度为1- ； 透过2块这样的玻璃后，光线强度为 透过3块这样的玻璃后，光线强度为 则透过n块这样的玻璃后，光线强度为 令 ，即0.9n ，n10.4，故至少要透过11块这样的玻 璃，才能使光线的强度减弱到原来的 以下. 答案：11,类型二 对数函数模型 【典例】(2015济宁高一检测)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回 产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v= log3 ,单 位是m/s,是表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少? (2
9、)某条鲑鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的 多少倍.,【解题探究】典例(2)中“游速提高1m/s”的含义是什么? 提示:游速提高1m/s实质是v2-v1=1,【解析】(1)由v= 可知，当=900时， (2)由v2-v1=1，即 所以耗氧量为原来的9倍.,【延伸探究】 1.(改变问法)在典例中若条件不变,求解的问题改为:当一条鲑鱼的耗 氧量是8100个单位时,它的游速是多少? 【解析】将=8100代入函数关系式,得v= log381= 4=2,所以一 条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是2m/s.,2.(改变问法)在典例中若条件不变,计算一条鲑鱼静止时耗氧量的 单位
10、数. 【解析】令v=0,得 则=100,所以一条鲑鱼 静止时耗氧量为100个单位.,【方法技巧】对数函数应用题的解题思路 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.,【补偿训练】1.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放的能量)的常用对数值,显然里氏级别越高,地震的强度也就越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级,美国旧金山1906年的地震是里氏8.3级,试计算一下,日本1923年的地震强度是美国旧金山1906年的地震强度的多少倍?,【解析】设日本1923年的地震
11、强度为x,美国旧金山1906年的地震 强度为y,则8.9=lgx,8.3=lgy,所以x=108.9,y=108.3,所以 =100.64.即日本1923年的地震强度约是美国旧金山1906年的地震 强度的4倍.,2.(2015临汾高一检测)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与 它的强度有关系.声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时, 常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下公式:LI=10lg (单位 为分贝,LI0,其中I0=110-12W/m2,这是人们平均能听到的最小强度, 是听觉的开端).回答以下问题:,(1)树叶沙沙声的强度是110-12W/m2,耳语的强度是110
12、-10W/m2,恬静的无线电广播的强度是110-8W/m2,试分别求出它们的强度水平. (2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?,【解题指南】(1)代入公式LI=10lg 即可求解. (2)列出LI满足的条件,解不等式.,【解析】(1)由题意可知:树叶沙沙声的强度是I1=110-12W/m2,则 =1,所以 =10lg1=0,即树叶沙沙声的强度水平为0分贝;耳语的强 度是I2=110-10W/m2,则 =102,所以 =10lg102=20,即耳语的强度 水平为20分贝;恬静的无线电广播的强度是I3=110-8W/m2,则
13、 =104, 所以, =10lg104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝. (2)由题意知:0LI50,即010lg 50,所以,1 105,即 10-12I10-7.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10-12W/m2, 同时应小于10-7W/m2.,【延伸探究】 1.在本题条件下,若某电子音乐播放器发出的音乐强度水平为60分贝, 试求该电子播放器的强度. 【解析】由10lg =60,即lg =6,所以 =106,即I=1061 10-12=110-6W/m2.,2.若安静小区为了进一步提高居民的生活居住环境,规定小区内公共 场所的声音的强度水平必须保持在40分贝以下,试求
14、声音强度I的范 围为多少? 【解析】由题意知:0LI40,即010lg 40,所以,1 104,即 10-12I10-8.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10-12W/m2, 同时应小于10-8W/m2.,类型三 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例】1.下列函数关系中,可以看作是指数型函数y=kax(kR,a0且a1)模型的是 ( ) A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人ts内骑车行驶了1km,那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D.信件的邮资与其质量间
15、的函数关系,2.(2015邯郸高一检测)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如表所示.,(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象. (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象. (3)根据所建立的函数模型,估计若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷?,【解题探究】1.典例1中y=kax有怎样的变化趋势? 提示:此函数为指数型函数,变化趋势符合指数函数的变化规律. 2.典例2中如何应用表中的数据? 提示:可首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型.
16、,【解析】1.选B.A中信号弹的高度先增加再减少,不符合y=kax的变化;B中若已知人口数为m,则x年后有m(1+1%)x,符合y=kax;C,D中函数关系也不符合指数型函数变化规律.,2.(1)描点、作图,如图(甲)所示:,(2)从图(甲)中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假 设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx(a,b为常数 且b0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx, 得 用计算器可得a2.2,b1.8.这样,得到一个函 数模型:y=2.2+1.8x,作出函数图象如图(乙),可以发现,这个函数模 型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映积雪深度与灌 溉面积的关系.,(3)由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x,
