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1、选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系,【知识梳理】 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:_ 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系 中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:在平面内取一个定点O,即_,自极点O引一条射线Ox, 即_;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系. (2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设|OM|= (0),以Ox为始边,OM为终边的角为,则点M可用有序数对_ 表示.,极
2、点,极轴,(,),(3)极坐标与直角坐标的互化公式: 设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),则互化公式为,3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程:,+,+,sin,cos ,(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(0,0),且极轴 到此直线的角为,直线l的极坐标方程为sin(-)=_ _.,0sin(-,0),4.半径为r的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程:,r,2rcos ,2rsin,-2rcos ,-2rsin,(2)一般位置的圆的极坐标方程:若圆心为M(0,0),半径为r,则圆 的极坐标方程为_.,【小题快练】 1.(2015南昌模
3、拟)若原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点 (-5,-5 )的极坐标是 ( ),【解析】选B.设点(-5,-5 )的极坐标为(,), 则tan= 因为x0,所以最小正角= = =10. 所以极坐标为,2.(2014江西高考)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为( ),【解析】选A.把x=cos,y=sin代入得= 而0x1可得0 .,3.(2015惠州模拟)已知圆的极坐标方程为=4cos,圆心为C,点P 的极坐标为 ,则|CP|= . 【解析】由=4cos可得圆的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,圆心 C(2,0).
4、点P的直角坐标为P(2,2 ),所以|CP|=2 . 答案:2,考点1 伸缩变换 【典例1】将圆x2+y2=1变换为椭圆 =1的一个伸缩变换公式为 : 求,的值.,【解题提示】先将变换后的椭圆方程改写,再将变换公式代入此椭圆方程,整理求得,的值.,【规范解答】将变换后的椭圆方程 =1改写为 =1，将伸缩变换公式: 代入上式得 即 与x2+y2=1比较系数得 解得,【互动探究】本例若改为将椭圆 =1变换为圆x2+y2=1的一个伸 缩变换公式为: 则如何求m,n的值?,【解析】将变换后的圆x2+y2=1改写为x2+y2=1，将伸缩变换: 代入上式得m2x2+n2y2=1，与 =1比较系数得 解得,
5、【规律方法】伸缩变换公式应用时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的, 解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P的坐标 (x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系. (2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x,y) =0,再利用换元法确定伸缩变换公式.,【变式训练】求将曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的伸缩变换公式. 【解析】将变换后的曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式,考点2 极坐标与直角坐标的相互转化 【典例2】(2014广东高考改编)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分
6、别为2cos2=sin与cos=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C1与C2交点的直角坐标. 【解题提示】将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标.,【规范解答】由2cos2=sin,得22cos2=sin, 由 得2x2=y. 由cos=1,得x=1,代入2x2=y,解得x=1,y=2. 所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).,【规律方法】 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点. (2)以x轴的非负半轴为极轴. (3)两种坐标系规定相同的长度单位.,2.直角坐标化为极坐标的关注点 (1)根据终边相同的角
7、的意义,角的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(,)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个. 当限定0,0,2)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的. (2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置),以便正确地求出角0,2)的值.,【变式训练】(2014上海高考改编)已知曲线C的极坐标方程为 (3cos-4sin)=1,求C与极轴的交点到极点的距离. 【解析】将极坐标方程(3cos-4sin)=1化为直角坐标方程为 3x-4y=1,则C与极轴的交点即为直线与x轴的交点 ,极点即为原 点,故所求的距离为 .,【加固训练】1.极坐标系中，求直角坐标为(-1,
8、 )的点的极径和 极角. 【解析】直角坐标为(-1, )的点到极点的距离为= =2, 又tan =- ,且点在第二象限，得=2k+ ,kZ. 于是点(-1, )的极坐标为(2，2k+ )(kZ)， 所以此点的极径为2，极角为2k+ (kZ).,2.在极坐标系中，求点 关于直线= 的对称点N的极坐 标，并求MN的长 【解析】点 的直角坐标为( ,1)，直线= 的直角坐标 方程为tan = =1，即x-y=0，点M( ,1)关于直线x-y=0的对称 点N的坐标为(1, )，化为极坐标得 由于点M( ,1)到直线x-y=0的距离 所以MN的长为|MN|=2d=,考点3 直线与圆的极坐标方程的应用 【
9、典例3】在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为 =2sin与cos=-1(02),求: (1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标. (2)过点P被曲线C1截得弦长为 的直线的极坐标方程.,【解题提示】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标. (2)利用数形结合思想,转化为几何性质解决.,【规范解答】(1)由公式 得曲线C1：=2sin 与C2： cos =-1(02)的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x=-1 联立方程组，解得 由公式 得点P(-1，1)的 极坐标为,(2)方法一:由上述可知，曲线C1：=2sin 即圆x2+(y-1)2=1，如图所示， 过P(
10、-1，1)被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：,一条过原点O，倾斜角为 ，直线的普通方程为y=-x，极坐标方程为 = (R)； 另一条过点A(0,2)，倾斜角为 ，直线的普通方程为y=x+2， 极坐标方程为(sin -cos )=2， 即,方法二:由上述可知，曲线C1：=2sin 即圆x2+(y-1)2=1，过点 被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：一条过原点O，倾 斜角为 ，极坐标方程为= (R)； 另一条倾斜角为 ，极坐标方程为sin(- ) = 即,【规律方法】常见的直线与圆的综合问题 (1)直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:,(2
11、)若直线与圆相交于点A,B,则弦长公式为|AB|=,【变式训练】(2015广州模拟)在极坐标系(,)(02)中, 求直线= 被圆=2sin截得的弦长. 【解析】在极坐标系(,)(02)中,直线= 的直角坐标 方程为x-y=0,圆=2sin的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1, 圆心(0,1)到直线的距离为d= ,所以弦长为,【加固训练】1.已知极坐标系中,圆C1:=2cos与圆C2:=2asin(a0). (1)将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程. (2)若两圆的圆心距为3,求a的值.,【解析】(1)由圆C1:=2cos,得2=2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=
12、2x,即(x-1)2+y2=1. 圆C2:=2asin(a0)即2=2asin,化为直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+(y-a)2=a2. (2)由于两圆的圆心距为3,得 =3, 解得a=2 .,2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos,=-sin. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过圆O1,圆O2的两个交点的直线的直角坐标方程. 【解析】以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.,(1)由x=cos,y=sin,=4cos, 得2=4cos,所以x2+y2=4x. 即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程. 同理x2+y2+y=0为圆O2的直角坐标方程. (2)由 相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.,
