《2018年秋八年级数学上册 13.3-13.4课件 新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋八年级数学上册 13.3-13.4课件 新人教版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章 轴对称,13.3 等腰三角形 13.4 课题学习 最短路径问题,八年级数学上 新课标 人,等腰(等边)三角形的性质和判定的综合应用,例1,如图所示,BD和CD分别平分ABC的内角EBA和外角ECA,BD交AC于F,连接AD. (1)求证BDC= BAC； (2)若AB=AC,请判断ABD的形状,并证明你的结论； (3)在(2)的条件下,若AF=BF,求EBA的大小.,解析,(1)根据角平分线的定义得到BDC+ ABC= ACE，BAC+ABC=ACE,于是得到BDC+ ABC= BAC + ABC,等量代换即可得到结论；,(2)作DMBG于M,DNAC于N，DHBE于H,根据角平分线
2、的 性质得到DM=DH,DN=DH,等量代换得到DM=DN,根据平角定义 和三角形的内角和得到GAD+CAD+BAC=180,BAC+ ABC+ACB=180,推出GAD+CAD=ABC+ACB,由等 腰三角形的性质得到ABC=ACB,等量代换得到GAD= ABC,推出ADBC,由平行线的性质得到ADB=DBC,证得 ABD=ADB,即可得到结论；,(3)根据等腰三角形的性质得到BAF=ABF= ABC,根据三角形的内角和即可求解.,(3)AF=BF,BAF=ABF= ABC, BAF+ABC+ACB=180,ABC=ACB, ABC=180, ABC=72,即EBA=72.,证明:(1)BD
3、,CD分别平分EBA,ECA,BD交AC于F, BDC+ ABC= ACE,BAC+ABC=ACE, BDC+ ABC= BAC+ ABC, BDC= BAC.,解:(2)ABD为等腰三角形,证明如下:作DMBG于M,DNAC于N,DHBE于H, BD,CD分别平分EBA,ECA,DM=DH,DN=DH,DM=DN, AD平分CAG,即GAD=CAD,GAD+CAD+BAC=180, BAC+ABC+ACB=180,GAD+CAD=ABC+ACB, AB=AC,ABC=ACB,GAD=ABC,ADBC,ADB=DBC, 又ABD=DBC,ABD=ADB,AB=AD,ABD为等腰三角形.,【规律
4、方法】本题考查了等腰三角形的判定和性质,角平分线的性质,三角形的内角和,三角形的外角的性质,正确地作出辅助线是解题的关键.,1.如图所示,在ABC中,ABC和ACB的平分线交于点O,过O点作EFBC,交AB于E,交AC于F. (1)判断BEO的形状,并说明理由; (2)若BE=5 cm,CF=3 cm,求EF的长.,解:(1)BEO是等腰三角形,理由: BO平分ABC,EBO=CBO, EFBC,EOB=CBO,EBO=EOB, BE=EO,BEO是等腰三角形.,(2)BO平分ABC,CO平分ACB,EBO=CBO, OCB=FCO.EFBC,EOB=CBO, FOC=BCO,EBO=EOB,
5、FOC=FCO, BE=EO,CF=FO.EO+OF=EF, EF=BE+CF=8 cm.,考查角度1 关于等腰三角形中角的问题,例2,等腰三角形中讨论问题,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50,那么这个等腰三角形的底角为 .,【解题归纳】 本题主要考查了等腰三角形的性质,知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50,有两种情况,一种是高在三角形内部,另一种是高在三角形外部,读懂题意,是解答本题的关键.,70或20,解析分两种情况:如图13 - 58(1)所示,ABC是等腰三角形,BDAC, 即ADB=90,ABD=50,在RtABD中,A=90-50=40, C=ABC= = 70;如图
6、13 - 58(2)所示,ABC是等腰三角形,BDAC,即ADB=90,ABD=50,在RtABD中, BAD=90-50=40,又BAD=ABC +C,ABC=C, C=ABC= =20.,2.已知等腰三角形ABC,由顶点A所引BC边上的高线长等于BC边长的一半,求BAC的度数.,解:AD是BC边上的高线,若BC是底边, 即AB=AC,如图(1)所示,BD=DC, BAD=CAD,AD= BC,AD=BD, B=BAD=45, BAC=2BAD=90.若BC是腰, BC=BA,若点D在BC边上,如图(2) 所示,则在RtBAD中,易知BA=2AD,B=30,BAC=75 若点D在CB的延长线
7、上,如图 (3)所示,类似地,得:DBA=30, 则ABC=150,BAC=15.,若等腰三角形一腰上的中线将其周长分为9 cm和12 cm两部分,则这个等腰三角形的腰长为 .,考查角度2 关于等腰三角形中边的问题,例3,8 cm或6 cm,【解题归纳】 注意结合等腰三角形的性质和三边关系的知识,解析设腰长为x cm,底长为y cm,根据题意可知x-y=12-9=3(cm)或y-x=3(cm),且x+x+y=21,当x-y=3时,可解得x=8,此时三角形的三边为8 cm,8 cm,5 cm,满足三角形的三边关系;当y-x=3时,可解得x=6,此时三角形的三边为6 cm,6 cm,9 cm,满足
8、三角形的三边关系.综上可知,三角形的腰长为8 cm或6 cm.,3.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm,则腰长为 .,8 cm,(2)证明满足和的情形,理由如下: 在BOE和COD中, BOECOD.OB=OC.OBC=OCB, EBO+OBC=DCO+OCB,即ABC=ACB. AB=AC,ABC是等腰三角形.,某校八(3)班在一次数学探究性学习活动中,探究“一般三角形具备哪些条件,就能断定其是等腰三角形”的过程中,其中一个小组提出下列问题:如图所示,ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件: EBO=DCO;BEO=
9、CDO;BE=CD;OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件组合可判定ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情况) (2)选择第(1)问中的一种情况,证明ABC是等腰三角形.,等腰三角形与全等三角形的综合问题,例4,解:(1)和,和,和,和四种情况, 均可判定ABC是等腰三角形.,4.(杭州中考)如图所示,在ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证PB=PC,并请直接写出图中其他相等的线段.,证明:在ABF与ACE中, ABF ACE(SAS), ABF=ACE,又AB=AC, ABC=ACB,ABC-ABF=ACB-ACE, 即FBC=EC
10、B,PB=PC. 相等的线段还有:PE=PF,CE=BF,BE=CF.,如图所示,ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQAD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的长.,等边三角形与全等三角形的综合问题,例5,解析由已知条件易知ABECAD,从而可得AD=BE,故只需求BP的长.由BQAD知在RtBPQ中,若有PBQ=30,就可以求出BP的长,于是将求证BPQ=60作为问题的突破口.,解:ABC为等边三角形, BAC=C=60,AB=CA. 又AE=CD,ABECAD, ABE=CAD,BE=AD, BPQ=BAP+ABE=BAP+CAD=BAC=60. 又BQAD,PBQ=30
11、, PB=2PQ=6, BE=PB+PE=7,AD=BE=7.,5.如图所示,D是等边三角形ABC内一点, DB=DA,BP=AB,DBP=DBC,求证P=30.,证明:连接DC,由题意知在 BPD和BCD中, BPDBCD(SAS), P=BCD. 在ADC和BDC中, ADCBDC(SSS), BCD=ACD= ACB=30,P=30.,等腰三角形与含有30角的直角三角形的综合问题,如图所示,在等边三角形ABC中,BD平分ABC交AC于点D,过点D作DEBC于点E,且CE=1, 求BC的长.,例5,解:ABC是等边三角形, ABC=C=60,AB=BC=AC, DEBC,CDE=30, E
12、C=1,CD=2EC=2, BD平分ABC交AC于点D, AD=CD=2, BC=AC=AD+CD=4.,【解题归纳】在解决与等边三角形相关的问题时,除利用它的特殊性质外,还应结合“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”来求解.,6.如图所示,ABC中,AB=AC,BAC=120,ADAC 交BC于点D,求证BC=3AD.,证明:在ABC中, AB=AC,BAC=120,B=C=30, 又ADAC,DAC=90, C=30,CD=2AD, 易知BAD=B=30,AD=DB, BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD.,最短路径的问题,如图13 - 62所示,已知点A是锐角
13、MON内一点,试分别在OM,ON上确定点B、点C,使ABC的周长最小,写出作图的主要步骤,并标明所确定的点.,例7,解析本题考查两点之间,线段最短和轴对称等重要知识点.由题意知作A点关于OM,ON的对称点,然后连接两对称点可得所求的点.本题是一道难度中等的题目.,解:如图13 - 63所示,分别作点A关于OM,ON的对称点A,A,连接AA,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求.,7.如图所示,要在河边修建一个水泵站,分别向张庄、李庄送水,水泵站修建在河边什么地方,可使所用的水管最短?,解:如图40所示,作点A关于直线a的对 称点A,连接AB交直线a于点C,则点C 即为水泵站的位置.理由如下:如图41 所示,在直线a上任取一点C(异于点C), 连接BC,AC,AC,AC.A与A关于直线a对称,AC=AC,AC=AC.AC+CB=AC+CB=ABAC+BC=AC+BC.,
