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1、广东省2019届广州市天河区高三毕业班综合测试（一）理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.若复数满足，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复
2、数的几何意义进行求解即可【详解】由，得，则，对应点的坐标为为第二象限，故选：B【点睛】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键这个题目考查了复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作3.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是30人，则该班的学生人数是A. 45
3、B. 50 C. 75 D. 100【答案】D【解析】【分析】由频率分布直方图求出低于60分的频率，再由低于60分的人数是30人，能求出该班的学生人数【详解】由频率分布直方图得低于60分的频率为：，低于60分的人数是30人，该班的学生人数是：故选：D【点睛】本题考查班级学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.已知偶函数，当时，当时，则A. B. 0 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出与的值，结合函数的奇偶性可得与的值，计算可得答案【详解】根据题意，当时，则，当时，又由为偶函数，则，；则；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与解
4、析式的应用，涉及对数的运算，属于基础题5.若向量和向量平行，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：依题意得，得x3，又,所以，故选C.考点：向量的模6.若数列满足：，则数列的前n项和为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式，求出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和即可【详解】数列满足：，可得：，可得，可得当时，所以数列的通项公式为：所以数列是等比数列，公比为2数列的前n项和故选：D【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。7.一个几何体的三视图如图所示，其
5、中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式【详解】由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面底面ABC，高为；其中，平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，根据SM=MB得到：在三角形MOB中，MB=，解得，外接球的半径为；三棱锥外接球的表面积为故选：C【点睛】本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题一般外接球需要求球心和半径，首先应确
6、定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.8.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
7、因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得（1） （2） （3）考点：几何概型【此处有视频，请去附件查看】9.已知，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 选D10.已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或6【答案】C【解析】圆可化标准方程：直线可变形为，即圆心为（1，0），半径r=1,直线过定点（2，2），由面积公式 所以当时，即点到直线距离为时取最大值。，解得k
8、=1或7,选C.【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键，选择，使运算更简单，也更好理解。11.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：三棱锥的体积不变；平面；平面平面其中正确的结论的个数是A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】对于，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于，连接，且相等，由于知：，所以面，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于平面，所以，若，则平面DCP，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连
9、接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想12.若函数，当在上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中具有M性质的函数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件分别求出的表达式，结合函数的导数或函数单调性的性质分别进行判断即可【详解】，则，在上是减函数，不满足条件B.若，则，的判别式，即在上单调递增，满足条件，C.若，则，则，则，不满足单调性D.，则，则，当时，此时函数为减函数，不满足条件故选：B【点睛】本题主要考查与函数单调性有关的新定义求出函数的
10、解析式，通过导数判断函数的单调性是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知展开式中二项式系数的和为512，则该展开式中常数项为_【答案】672【解析】【分析】根据展开式中二项式系数的和求出n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项【详解】展开式中二项式系数的和为，解得，则展开式中的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为故答案为：672【点睛】本题考查了二项式系数和与展开式的通项公式应用问题，是基础题求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参
11、数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.在等差数列中，首项，公差，若，则_【答案】191【解析】【分析】根据题意知，由此求得m的值【详解】等差数列中，首项，公差，则；故答案为：191【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，是基础题15.如果一个三位数abc同时满足且，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_【答案】285【解析】【分析】根据题意可得十位比百位小，并且十位比个位小，因此首先对十位依次进行分类讨论，分别求出每种情况的“凹数”的个数，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，按十位数字分类讨论：十位数字是9时不存在，此时三位“
12、凹数”的个数为0；十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；十位数字是0时，则百位与个位都
13、有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为，所以所有不同的三位“凹数”的个数是个，故答案为：285【点睛】本题考查分类计数原理的应用，关键是正确理解“凹数”的定义解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解16.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在
14、以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合，可得，设PA的倾斜角为，则当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得，则，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为，代入，可得，即，双曲线的实轴长为，双曲线的离心率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (
