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1、,第 一 章,常用逻辑用语,知能整合提升,1四种命题及其关系 (1)命题 可以判断真假的语句叫做命题，它由条件和结论两部分组成，是用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句它陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性即它总是肯定什么，或者否定什么,(2)四种命题,注意其中的否命题是既否定条件又否定结论的命题,(3)四种命题间的关系 原命题逆否命题，逆命题否命题，即互为逆否关系的命题是等价命题，它们的真假相同,2命题与逻辑联结间“且”“或”“非” (1)逻辑联结词 数学中的逻辑联结词有且、或、非，简单命题是不含逻辑联结词的命题，复合命题是由简单命题和逻辑联结词构成的命题复合命题的
2、结构有p且q、p或q、非p三种形式，“非p”是命题p的否定,(2)复合命题的真假,对于复合命题真假的判断，首先要分清复合命题的结构形式，分离出构成它的简单命题p，q，并对简单命题p，q的真假作出判断，然后再根据以上真值表对复合命题的真假作出判断,3全称量词与存在量词 (1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中叫做全称量词，用符号“”表示含有全称量词的命题叫全称命题短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中叫做存在量词，用符号“”表示含有存在量词的命题叫特称命题 (2)含有量词命题真假的判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只
3、要找出集合M中的一个xx0使得p(x0)不成立即可这就是通常人们所说的举出一个反例就可推翻结论 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个xx0，使得p(x0)成立即可否则，这个特称命题就是假命题,(3)全称命题p：xM，p(x)，它的否定p：x0M，p(x0)，即全称命题的否定是特称命题；特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定p：xM，p(x0)，即特称命题的否定是全称命题,4充分条件与必要条件的判断与应用 (1)数学命题“若pq”蕴涵多层含义：它表示“若p则q”为真；表示“由p经过推理可以得出q”；表示“如果p成立，那么q一定成立”；表示“如果q不成立，那么p一定不成立
4、”；表示“p是q的充分条件，q是p的必要条件”对于条件和结论之间的因果关系可作出以下概括：,充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，结合具体问题进行判断的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二步，尝试用条件推结论，用结论推条件；第三步，确定条件是结论的什么条件要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题是证明条件的充分性，证明逆命题是证明条件的必要性,热点考点例析,思维点击 先明确原命题的条件p与结论q，把原命题写成“若p，则q”的形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提,规
5、范解答 (1)逆命题：若xB，则x(AB) 根据集合“并”的定义，逆命题为真 逆否命题：若xB，则x(AB) 逆否命题为假如21,5B，A2,3，但2(AB) (2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除 逆命题为假反例：2,4,14,22等都不能被6整除,1写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： (1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； (2)矩形的对角线互相平分且相等； (3)相似三角形一定是全等三角形,解析： (1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”原命题为真命题，否命题也为真命题 (2)否命题是：
6、“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”，原命题是真命题，否命题是假命题 (3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”原命题是假命题，否命题是真命题,思维点击 本题主要考查全称命题与特称命题的否定，要注意两者在形式上的关系,规范解答 (1)xR，x22x20； (2)任何三角形都不是等边三角形； (3)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分,2写出下列命题的否定： (1)p：1和2的平方是正数； (2)p：有些自然数的平方是正数； (3)p：任意正数均大于0； (4)p：存在三角形，其外心在三角形边上,解析： (1)p：1和2的平方不全是正数； (2)p：所有自然
7、数的平方都不是正数； (3)p：存在正数不大于0； (4)p：任何三角形的外心都不在三角形边上,思维点击 要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可另外，在判断时要能恰当地给出反例,规范解答 (1)当|p|2时，取p4，则方程x24x70无实根； 若方程x2pxp30有实根，则由0推出p24(p3)0p2或p6，由此可推出|p|2. 所以A是B的必要非充分条件 (2)若2k(kZ)，则sin sin sin sin(2k)sin sin 0(kZ)， 又sin()sin 2k0(kZ)， 所以sin()sin sin 成立 若sin()sin sin 成立， 取0，知2
8、k(kZ)不成立， 故A是B的充分不必要条件,答案： (1)必要不充分 (2)既不充分又不必要 (3)充分不必要,思维点击 本题属于开放题，答案不唯一由条件MPx|5x8得出a的取值范围，验证即可,思维点击 首先进行各个简单命题的真假判断，然后利用真值表对复合命题的真假进行判断,规范解答 由已知条件：“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，即“命题p假且命题q真”其中选项A中命题p、q均假，排除；选项B中，命题p真而命题q假，排除；选项D中，命题p和命题q都为真，排除；故选C. 答案： C,答案： D,思维点击 由题意，“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，即p、q一真一假化简命题p和
9、q得到a的范围即可,6设命题p：c2c和命题q：对任意xR，x24cx10，且“p或q”为真，“p且q”为假，求实数c的取值范围,跟踪训练 1设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是( ) A若ab，则|a|b| B若ab，则|a|b| C若|a|b|，则ab D若|a|b|，则ab 解析： 命题若p则q的逆命题为若q则p，故选D. 答案： D,2命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A所有不能被2整除的整数都是偶数 B所有能被2整除的整数都不是偶数 C存在一个不能被2整除的整数是偶数 D存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析： 命题的否定是“存在一个能被2整除的整
10、数不是偶数”，故选D. 答案： D,3对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图像关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,答案： B,答案： C,5(2011天津卷)设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的_条件,解析： x2且y2，x2y24，x2且y2是x2y24的充分条件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如当x2且y2时，x2y24亦成立，故x2且y2不是x2y24的必要条件 答案： 充分不必要,6(2010安徽卷)命题“对任何xR，|x2|x4|3”的否定是_ 答案： 存在xR，使得|x2|x4|3,7判断“0m2”是“方程mx22x30有两个同号且不等实根”的什么条件？,8已知a0，设命题p：函数yax在R上单调递增；命题q：不等式ax2ax10对任意xR恒成立若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围,解析： yax在R上单调递增， p：a1； 又不等式ax2ax10对任意xR恒成立， 0，即a24a0， 0a4，a0也成立，q：0a4. 而命题p且q为假，p或q为真， 那么p、q中有且只有一个为真，一个为假 (1)若p真，q假，则a4； (2)若p假，q真，则0a1. 所以a的取值范围为0,14，).,
