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1、第二章 平 面 向 量 1 从位移、速度、力到向量,1.向量及有向线段的概念 (1)向量的概念：把既有_，又有_的量统称为向量. (2)有向线段：如图，这种具有_和_的线段叫作有向 线段，记作_.,大小,方向,方向,长度,2.向量的表示,箭,头,3.与向量相关的概念及向量间的关系 (1)与向量相关的概念：,长度,0,单位1,(2)向量间的关系： 相等向量： 定义：长度相等且方向相同的向量，记作_ 规定：_且_的有向线段都表示同一向量 向量平行或共线： 定义：表示两个向量的有向线段所在的直线_. 表示：a与b平行或共线，记作_. 规定：零向量与任一向量_.,a=b,同向,等长,平行或重合,ab,
2、平行,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)向量就是有向线段，有向线段就是向量.( ) (2)向量可以比较大小.( ) (3)单位向量都是相等向量.( ) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在质量、加速度、功三个物理量中是向量的是_. (2)与 模相等，方向相反的向量表示为_. (3)点D是ABC边BC的中点,则向量 与 的关系是_.,【解析】1.(1)错误.向量与有向线段都有大小、方向，有向线段可以表示向量，但是不能说向量就是有向线段，有向线段就是向量. (2)错误.向量既有大小，又有方向，因此不能比较大小，但是向量的模可以比较大小. (3)错误.单位向量的模相等，但是方
3、向不一定相同，不一定是相等向量. 答案：(1) (2) (3),2.(1)质量,功只有大小没有方向,不是向量;加速度既有大小，又有方向,是向量. 答案:加速度 (2)与 模相等，方向相反的向量表示为 答案: (3)向量 与 大小相等,方向相同，是相等向量. 答案:相等(平行或共线),【要点探究】 知识点1 向量的概念 1.向量和有向线段的区别与联系 (1)区别: 向量是可以自由移动的,故当用有向线段来表示向量时,有向线段的起点是任意的.,有向线段是不能自由移动的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现,是向量的一种表现形式,不能等同于向量.有向线段有平行和共线之分,
4、而向量的平行和共线是相同的,是同一个概念. (2)联系：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向.,2.关于零向量与单位向量的方向 (1)零向量：零向量的方向是任意的，虽然规定零向量与任意向量平行，但一般不能说零向量与某一向量的方向相同或相反，只能用“任意”来描述零向量的方向. (2)单位向量：长度为1的向量为单位向量，单位向量的方向不确定，但对某一个确定的单位向量来说方向是确定的.,【微思考】 (1)由平面内的两个点分别作为起点、终点，可以确定几个向 量？ 提示：可以确定两个，如由平面内的两个点A，B可以确定两个 向量 (2)0与0的区别是什么
5、？ 提示：0是数量，只有大小，没有方向；0是向量，模是0，方向是任意的.,【即时练】 1.下列物理量：速度；位移；力；密度；路程.其中不是向量的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.判断下列说法正确与否,并说明理由. (1)温度含零上和零下温度，所以温度是向量. (2)方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. (3)一个向量的方向不确定当且仅当模为0.,【解析】1.选B.是数量的有：路程、密度. 是向量的有：速度、位移、力. 2.(1)不正确.虽然温度有零上和零下之分,但这指的不是方向,故不是向量. (2)错误.向量没有大小之分，与它们的方向无关. (3)正确.只有零
6、向量的方向不定,大小为零.,知识点2 向量间的关系 1.关于相等向量的关注点 (1)两个向量相等必须满足两个条件：模相等，方向相同，二者缺一不可.例如，单位向量不一定是相等向量； (2)相等向量是平行(共线)向量，但是平行(共线)向量不一定是相等向量.,2.关于共线、平行向量的两点说明 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，但向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义. (2)共线向量和平行向量是一个问题的两种说法，是指向量所在直线互相平行或重合，所以共线的两个向量可能在两条平行直线上，平行的两个向量也可能在同一条直线上.
7、故此处的两种说法均不正确.,【知识拓展】数学中的向量是自由向量的原因 根据相等向量的定义来分析,两个非零向量只有当它们的模相等,同时方向相同时,才能称它们相等.任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示, 并且与有向线段的起点无关,所以向量只有大小和方向两个要素,是自由向量.,【微思考】 (1)若两个向量的位置不同，那么这两个向量可能是相等向量吗？ 提示：两个向量是否相等主要看两个向量的模是否相等，方向是否相同，与两个向量的位置无关，故这两个向量也可能是相等向量. (2)向量a与0平行，能不能说0与向量a的方向相同或相反？ 提示：不能，对0的规定是与任意向量平行，方向是任意的.,【即时练
8、】 (1)把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_. (2)分别位于两条平行直线上的向量间的关系是_.,【解析】(1)把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点到起点的距离都等于1，所以，由圆的定义得，这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆 答案：半径为1的圆 (2)分别位于两条平行直线上的向量，方向相同或相反,是平行(共线)关系. 答案:平行(共线),【题型示范】 类型一 向量的表示 【典例1】 (1)如图所示，已知AD=3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量有_.,(2)如图，以1 cm3 cm方格纸
9、中的格点为起点和终点的所有向量中，请写出以A为起点的不同向量？,【解题探究】1.题(1)图中长度大于1的线段有多少条? 2.题(2)中确定不同向量的依据是什么? 【探究提示】 1.图中长度大于1的线段有AC,AD,BD三条. 2.长度和方向中只要有一个不同,即为不同向量.,【自主解答】(1)根据题意可得：模等于2的向量有 模等于3的向量有 答案： (2)由图可知，以A为起点的不同向量有,【延伸探究】题(2)中，条件不变，若问题改为“请写出模为2的向量”，结果如何？ 【解析】模为2的向量有,【方法技巧】向量表示法中的三个注意点 (1)书写时不要忘记“”. (2)向量 表示向量的起点为A,终点为B
10、,由A指向B. (3)向量表示时要注意小写字母和大写字母的用法,不要混合使用.,【变式训练】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为起点画一个向量b,使b=a. (2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|= ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?,【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行， 且长度相等，如图中的b即为所作. (2)c向量如图.(答案不唯一) 由平面几何知识可知，所有满足条件的向量c的终点的轨迹 是以A为圆心，半径为 的圆.,【误区警示】作图时容易弄错长度的关系,应借助图中的方格数确定向量的模.,【补偿训练】如图，已知正方形ABCD边长
11、为2，O为其中心， 则向量| |=_ 【解析】正方形的对角线长为 所以 答案：,类型二 向量的关系及其应用 【典例2】 (1)等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于 点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过 点P，且EFAB，则( ),(2)如图,D，E，F分别是ABC各边上 的中点，四边形BCMF是平行四边形， 请分别写出： 与 模相等且共线的向量. 与 相等的向量.,【解题探究】1.题(1)中判断向量是否相等的依据是什么？ 2.题(2)中判断向量共线的依据是什么？ 【探究提示】1.判断向量是否相等的依据是两个向量的模是否相等，方向是否相同. 2.判断向量共线的依据是两个向量的方向是否
12、相同或相反.,【自主解答】(1)选D.根据相等向量的定义， 分析可得，A. 与 方向不同，A错误， B. 与 方向不同，B也错误， C. 与 方向相反，C也错误， D. 与 方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半， D正确,(2)因为BCMF是平行四边形，所以CMBF. 因为D，E分别是BC，AC的中点，所以BFDE. 又因为F是AB的中点，所以与向量 模相等且共线的向量 有 由的分析可知，与向量 相等的向量有,【延伸探究】本例(1)中，相等的向量共有多少组？ 【解析】依据等腰梯形的性质可知AD=BC,AC=BD,EP=PF,AE=BF, DE=CF,DP=CP,AP=BP每一条线段可以表示
13、方向不同的两组相等 向量，故共有14组相等向量.,【方法技巧】相等向量与共线向量需注意的几个问题 (1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合. (3)平行(共线)向量无传递性(因为有0). (4)共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上.,【变式训练】如图，在正六边形ABCDEF中， 点O为其中心，则下列判断错误的是( ),【解题指南】根据正六边形的性质及相等向量的定义可得答案. 【解析】选D.由图可知， 但 不共线，故 故选D,【补偿训练】如图所示，四边形A
14、BCD为正方形，BCE为等腰直角三角形， (1)找出图中与 共线的向量. (2)找出图中与 相等的向量. (3)找出图中模与| |相等的向量. (4)找出图中与 相等的向量.,【解析】(1)与 共线的向量有 (2)与 相等的向量有 (3)模与| |相等的向量有 (4)与 相等的向量有,【易错误区】特殊向量在应用中的误区 【典例】下列命题中，正确的是( ) A.若ab，则a与b的方向相同或相反 B.若ab，bc，则ac C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D.若a=b，b=c，则a=c,【解析】选D.由于零向量的方向是任意的，且规定与任一向量平行，故取a=0，则对于任意向量b，都有
15、ab，知A错；取b=0，则对于任意向量a，c都有ab，bc，但得不到ac，知B错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错；由两向量相等的概念知D正确,【常见误区】,【防范措施】 重视特殊向量在解题中的应用 特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题过程中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错.如本例中涉及零向量的性质，即零向量与任意向量平行.解题时要验证取零向量时是否成立.,【类题试解】下列四个命题：若|a|=0，则a=0；若|a|= |b|，则a=b；若a与b是平行向量,则|a|=|b|；若a与b 满足|a|b|且a与b同向，则ab其中正确命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,【解析】选A.因为若|a|=0，则a为零向量，即a=0，故正确； 若|a|=|b|，则两个向量大小相等，但方向不确定，故a=b不一定成立，故错误； 若a与b是平行向量，则向量a与b的方向相同或相反，但大小关系不确定，故错误； 向量不能比较大小，故错误， 故正确命题的个数是1.,
