《2019届高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 函数模型及其应用,总纲目录,教材研读,1.几种常见的函数模型,考点突破,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤（四步八字）,考点二 指数函数、对数函数模型,考点一 二次函数模型,考点三 函数y=ax+ 的模型充要条件的应用,考点四 分段函数,1.几种常见的函数模型,教材研读,常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3
2、)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据:,与这组数据最吻合的函数模型是 ( ) A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型,答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,A,2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后 为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 ( ),C,答案 C 小明匀速行驶时,图象为一条直线,且距离学校越来越近,故 排除A.因交通
3、堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来 为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.,3.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种 细菌由1个繁殖成4 096个需经过 ( ) A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时,答案 C 设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.,C,4.某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的 奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.,1 024,答案
4、1 024,解析 依题意得 即 解得 所以y=2log4x-2.当y=8时,2log4x-2=8, 解得x=1 024(万元).,5.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速 车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存 车量为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式为 .,y=-0.1x+1 200,x0,4 000,答案 y=-0.1x+1 200,x0,4 000,解析 由题意知,y=0.2x+0.3(4 000-x) =-0.1x+1 200,其中x0,4 000.,6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图
5、),要使矩形 的面积最大,则隔墙的长度为 .,3,答案 3,典例1 某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注 水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0t24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少 吨? (2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24 小时内,有几小时出现供水紧张现象?,考点一 二次函数模型,考点突破,解析 (1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨, 则y=400+60t-120 , 令 =x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 所以当
6、x=6,即t=6时,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.,(2)由(1)及题意有400+10x2-120x80,得x2-12x+320,解得4x8, 即4 8, t , 由 - =8小时,得每天约有8小时供水紧张.,规律总结 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据已知 条件确定二次函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解决,解 题中一定要注意函数的定义域.,1-1 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1= 5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 了15辆
7、车,求该公司能获得的最大利润.,解析 设在甲地销售了x辆车,则在乙地销售了(15-x)辆车,设总利润为 L(x)万元,由题意可得L(x)=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0 x15,xZ). 易知L(x)在0,10.2上递增,在10.2,15上递减, 又x为整数, 所以当x=10时,L(x)最大,且L(x)max=45.6(万元). 故能获得的最大利润为45.6万元.,典例2 (2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投 入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的 研发资金比上一年增长1
8、2%,则该公司全年投入的研发资金开始超过20 0万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,考点二 指数函数、对数函数模型,B,答案 B,解析 设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30, 解得n , 又nN*,n5
9、, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.,规律总结 一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考 虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函 数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,2-1 一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰 期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)是(精确到0.1, 已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) ( ) A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3,答案 B 设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x= ,化简得0.9x = ,即x
10、=log0.9 = = = 6.6(年).故选B.,B,考点三 函数y=ax+ 的模型,典例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚 的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万 元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)= (0x10),若不建隔 热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能 源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.,解析 (1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,
11、因此f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0x10). (2)f(x)=6x+10+ -102 -10=70, 当且仅当6x+10= ,即x=5时,等号成立. 所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.,规律总结 应用函数y=ax+ 模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= 叠加而成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有时可以将所 列函数关系式转化为f(x)=ax+ 的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最 值时等号成立的条件.,3-1 某养殖场
12、需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每千 克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03 元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平 均每天支付的总费用最少.,典例4 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以 下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机 票每张减少10元,直到达到规定的75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给 航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数关系式; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,考点四 分段函数,解析 (1)设旅行团人数
13、为x,由题得0x75(xN*),飞机票的价格为y 元, 则y= (xN*), 即y= (xN*). (2)设旅行社获利S元, 则S= (xN*), 即S= (xN*).,因为S=900x-15 000在区间(0,30上为单调增函数, 故当x=30时,S取最大值12 000, 又S=-10(x-60)2+21 000的定义域为(30,75, 当x=60时,S取得最大值21 000. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润.,4-1 (2018山东济南质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城 市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车 流密度x(单位:辆/千米)的函数
14、.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造 成交通堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米 时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车 流密度x的一次函数. (1)当0x200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆 数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小 时),解析 (1)由题意可知当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax +b(a0), 显然v(x)=ax+b在20,200上是减函数, 由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)= (2)依题意及(1)可得,f(x)= 当0x20时, f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为6020=1 200;当20 x200时, f(x)= x(200-x) = ,当且仅当x=200 -x,即x=100时,等号成立,所以,当x=100时, f(x)在区间20,200上取得最大 值 . 综上,当x=100时, f(x)在区间0,200上取得最大值 3 333(辆/小 时), 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333 辆/小时.,
