《2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件文（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 双曲线,总纲目录,教材研读,1.双曲线的定义,考点突破,2.双曲线的标准方程和几何性质,考点二 双曲线的标准方程,考点一 双曲线的定义,考点三 双曲线的几何性质,考点四 直线与双曲线的位置关系,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0. (1)当 2a|F1F2| 时,P点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是两条射线;
2、,教材研读,(3)当 2a|F1F2| 时,P点不存在.,2.双曲线的标准方程和几何性质,双曲线的焦半径公式 已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,点P (x0,y0)是该双曲线上任意一点,则|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e为双曲线的 离心率).,1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,C,答案 C 双曲线2x2-y2=8的标准方程为 - =1,故实轴长为4.,2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A. B. C. D.( ,0),C,答案 C 原方程可化为
3、- =1, a2=1,b2= ,c2=a2+b2= ,右焦点坐标为 .,3.若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且| PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3,B,答案 B |PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得| PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.,4.双曲线C的焦点分别为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则该双曲线的标准 方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,B,答案 B 由题意得2a=| - |=4 ,所以a=2
4、, 又c=6, 所以b2=c2-a2=36-20=16, 所以双曲线的标准方程为 - =1.故选B.,5.若方程 - =1表示双曲线,则m的取值范围是 .,m-1或m-2,答案 m-1或m-2,解析 因为方程 - =1表示双曲线,所以(2+m)(m+1)0,即m-1或 m-2.,6.若双曲线 - =1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则 该双曲线的离心率为 .,答案,解析 由题意知 =2a, 又c2=a2+b2,|bc|=2ac,即b=2a, c2=a2+b2=5a2, =5,即e2=5,e= .,典例1 (2018山东济南质检)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-
5、3)2+y2=9,动 圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .,考点一 双曲线的定义 命题方向一 求轨迹方程,考点突破,答案 x2- =1(x-1),解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两 圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=26. 这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义知,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离 大,到C1的距离小),且a=1,c=3,
6、则b2=8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程 为x2- =1(x-1).,典例2 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|, 则cosF1PF2= .,命题方向二 解决“焦点三角形”问题,答案,解析 由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a=2 , |PF1|=2|PF2|,|PF1|=4 ,|PF2|=2 , 则cosF1PF2 = = = .,探究1 本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”,则F1 PF2的面积是多少?,解析 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2 , 在F1PF
7、2中,由余弦定理,得cosF1PF2 = = ,所以|PF1|PF2|=8, 所以 = |PF1|PF2|sin 60=2 .,探究2 本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“ =0”,则F1PF2 的面积是多少?,解析 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2 , 由于 =0,所以 , 所以在F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, 所以|PF1|PF2|=4, 所以 = |PF1|PF2|=2.,方法技巧 双曲线定义的应用技巧 双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨 迹是否为双曲
8、线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角 形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方 的方法,建立与|PF1|PF2|的联系. 在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还 是双曲线的一支.若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.,1-1 ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则 顶点C的轨迹方程是 .,答案 - =1(x2),解析 如图,ABC与内切圆的切点分别为G,E,F. |AG|=|AE|=7,|BF|=|BG|=3,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=7-3=4. 根据双曲线定
9、义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支, 方程为 - =1(x2).,1-2 已知F是双曲线 - =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动 点,则|PF|+|PA|的最小值为 .,9,答案 9,解析 因为F是双曲线 - =1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H (4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|2a+|AH|=4+ =4+5=9.,典例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)虚轴长为12,离心率为 ; (2)截距为26,且经过点M(0,12); (3)经过两点P(-3,2 )和Q(-6 ,-7).,考点二 双曲线
10、的标准方程,解析 (1)由题意知,2b=12,e= = . b=6,c=10,a=8. 双曲线的标准方程为 - =1或 - =1. (2)双曲线经过点M(0,12), M(0,12)为双曲线的一个顶点, 故焦点在y轴上,且a=12, 2c=26,c=13, b2=c2-a2=25. 双曲线的标准方程为 - =1. (3)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(mn0).,双曲线经过两点P(-3,2 )和Q(-6 ,-7), 解得 双曲线的标准方程为 - =1.,方法技巧 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法:设出双曲线的标准方程,根据已知条件,列出参数a,b,c的 方程并求出a,b,c
11、的值.与双曲线 - =1有相同渐近线时,可设所求双曲 线方程为 - =(0). (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置 确定c的值.,2-1 (2017东北三校联合模拟)与椭圆C: + =1共焦点且过点(1, ) 的双曲线的标准方程为 ( ) A.x2- =1 B.y2- =1 C. - =1 D. -x2=1,C,答案 C 椭圆 + =1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程 为 - =1(m0,n0), 则 解得m=n=2. 所以双曲线的标准方程为 - =1.,2-2 已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近 线与直
12、线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 ( ) A. -y2=1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1,A,答案 A 由题意可得 解得a=2,b=1, 所以双曲线的方程为 -y2=1,故选A.,考点三 双曲线的几何性质,典例4 (1)(2017课标全国,5,5分)若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的 取值范围是 ( ) A.( ,+) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2) (2)(2017课标全国,15,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的右顶点 为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两 点.若MAN=60,则C的离心率为 .,命
13、题方向一 离心率问题,答案 (1)C (2),解析 (1)由题意知e= = , 因为a1,所以e1,所以1e ,故选C. (2)不妨设点M、N在渐近线y= x上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|= b,则A点到渐近线y= x的距离为 b,又将y= x变形为一般形式bx-ay=0, 则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d= = ,所以 = b,即 = , 所以双曲线离心率e= = .,典例5 (1)已知双曲线C: - =1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上, 则C的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 (2)(2017课标全国,14,5
14、分)双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为y = x,则a= .,命题方向二 渐近线问题,答案 (1)A (2)5,解析 (1)双曲线C的渐近线方程为 - =0及点P(2,1)在渐近线上, - =0,即a2=4b2, 由题意得a2+b2=c2=25, 联立得b2=5,a2=20,则C的方程为 - =1.故选A. (2)由题意可得 = ,所以a=5.,典例6 (1)若双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程 为 ( ) A.y= x B.y=2x C.y= x D.y= x (2)(2017课标全国,5,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近 线方程为y=
15、x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,命题方向三 离心率与渐近线的综合问题,答案 (1)A (2)B,典例7 (2015课标全国,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一 点,F1,F2是C的两个焦点.若 0,则y0的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,命题方向四 求参数或变量的取值范围,A,答案 A,解析 若 =0,则点M在以原点为圆心,半焦距c= 为半径的圆 上,则 解得 = .可知: 0点M在圆x2+y2=3的内部 y0 .故选A.,1.双曲线离心率的求法 求双曲线的离心率有两种思路:一是根据双曲线的定义及性质分别求出 a与c;二是根据已知构造关于a,c的方程或不等式,进而转化为关于e的方 程或不等式求解.注意正确利用a,b,c的关系式.,规律总结,2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意e= 及判断焦 点的位置. (2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时,若焦点不确定,则m= 或m= ,因此离心率有两种可能. 提醒如果已知双曲线方程 - =1或 - =1,求其渐近线方程,只要 将方程等号右端“1”改写成“0”,即得渐近线方程.,3.与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若
