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1、7.4 直接证明与间接证明,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.直接证明 (1)定义:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性. (2)常见类型,已知条件,待证结论,原因,结果,待证结论,充分条件,结果,产生这一结果的原因,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,可知,未知,必要条件,未知,需知,已知,充分条件,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.反证法 (1)反证法的定义:一般地,由证明pq转向证明: ,t与 矛盾或与 矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫做反证法. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤: 分清命题的条
2、件和结论; 做出与命题结论相矛盾的假设; 由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.,qrt,假设,某个真命题,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件. ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( ) (4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( ) (5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过程.( ),答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,
3、1,5,2.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2” ,这一过程应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xb B.ab C.a=b D.ab,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x3+
4、ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5. 用反证法证明“100个球放在90个盒子里,至少有一个盒子里不少于两个球”应假设 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件. 2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法. 3.用反证法证题时,首先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况,然后推出
5、矛盾,矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.,-11-,考点1,考点2,考点3,考向一 数列中的证明 例1设数列an的前n项和为Sn,已知3an-2Sn=2. (1)证明an是等比数列并求出通项公式an; 思考哪些问题的证明适合用综合法?,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,考向二 立体几何中的证明 例2(2017山东枣庄一模)如图, 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是菱形,且AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求证: (1)BDC1C; (2)C1C平面A1BD. 思考在用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到什么数
6、学方法?,-14-,考点1,考点2,考点3,证明: (1)连接AC,AA1平面ABCD,AA1BD. 四边形ABCD是菱形, ACBD, 又ACAA1=A, BD平面ACC1A1. CC1平面ACC1A1,BDCC1. (2)连接AC和A1C1,设ACBD=E.底面ABCD是菱形, E为菱形ABCD的中心,由棱台的定义及AB=2A1B1,可得ECA1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1为平行四边形,CC1A1E. CC1平面A1BD,A1E平面A1BD,CC1平面A1BD.,-15-,考点1,考点2,考点3,考向三 不等式中的证明 思考综合法证明的特点是什么?,证明 由a2+b22ab,b2
7、+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型. 2.用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到转化法,例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直. 3.用综合法证明的特点是“由因导果”,即从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近
8、要证明的结论,直到完成命题的证明.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a20, 求证:an是首项为1的等比数列; 若a2-1,求证:Sn (a1+an),并给出等号成立的充要条件.,(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AB的中点. 求证:直线EF平面PBC; 平面DEF平面PAB. (3)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)在PAB中,因为E,
9、F分别为PA,AB的中点,所以EFPB. 又因为EF平面PBC,PB平面PBC, 所以直线EF平面PBC. 连接BD,因为AB=AD,BAD=60, 所以ABD为正三角形. 因为F是AB的中点,所以DFAB. 因为平面PAB平面ABCD,DF平面ABCD, 平面PAB平面ABCD=AB,所以DF平面PAB. 又因为DF平面DEF,所以平面DEF平面PAB.,-21-,考点1,考点2,考点3,例4已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边, 思考哪些问题的证明适合用分析法?,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,解题心得分析法证明
10、问题的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.,-24-,考点1,考点2,考点3,(2)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.,证明 (1)因为m0,所以1+m0. 所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立,故原不等式得证.,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)要证明2a3-b32ab2-a2b成立, 只需证2a3-b3-2ab2+a
11、2b0, 即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)0. ab0,a-b0,a+b0,2a+b0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立, 2a3-b32ab2-a2b.,-26-,考点1,考点2,考点3,例5设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (1)求证:数列Sn不是等比数列. (2)数列Sn是等差数列吗?为什么? 思考反证法的适用范围及证题的关键是什么?,(1)证明 假设数列Sn是等比数列, 因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,这与公比q0矛盾, 所以数列Sn不是等比数列.,-27-,考点1,考点2,考点3,(
12、2)解 当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列.假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,这与公比q0矛盾. 综上,当q=1时,数列Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列.,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得反证法的适用范围及证题的关键 (1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证明. (2)证题的关键:在正确地推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须是明显的.,-29
13、-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程. 3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.应用分析法要书写规范,常用“要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论. 2.应用反证法要将假设作为条件进行推理,不使用假设而推出矛盾的,其推理过程是错误的. 3.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.,
