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1、本章整合,第二章 随机变量及其分布,随机变量及其分布,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一 几个典型的离散型随机变量分布列 离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况,是进一步研究随机变量的数字特征的基础,对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度,求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤: (1)确定离散型随机变量所有的可能取值,以及取这些值时的意义; (2)尽量寻求计算概率时的普遍规律; (3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1袋中装有质地均匀的8个白球、2个黑球,从中随机地连续取3次,每次取1球. 求:(1)有放回抽样
2、时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 提示:(1)为二项分布;(2)为超几何分布.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,(1)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求的分布列; (2)若他只有6颗子弹,只要击中目标,则不再射击,否则子弹打完,求他射击次数的分布列. 提示:(1)中的取值是全体正整数;(2)中的取值是1,2,3,4,5,6.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,应用3在一次智力测试时,有A,B两个相互独立的问题,答题规则如下:被测试者答对问题A的得分
3、为a,答对问题B的得分为b,先答哪个问题由被测试者自由选择,但只有第一道问题答对,才能再答第二道问题,否则终止答题.若你是被测试者,假设你答对问题A,B的概率分别为P1,P2. (1)当 时,你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题? (2)已知a=10,b=20,当P1,P2满足怎样的关系时,你选择先答问题A?,专题一,专题二,专题三,专题四,解:(1)设先答问题A的得分为随机变量X,先答问题B的得分为随机变量Y. P(X=0)=1-P1,P(X=a)=P1(1-P2),P(X=a+b)=P1P2, E(X)=0(1-P1)+aP1(1-P2)+(a+b)P1P2=aP1(1-P2)+
4、(a+b)P1P2. P(Y=0)=1-P2,P(Y=b)=P2(1-P1),P(Y=a+b)=P1P2, E(Y)=0(1-P2)+bP2(1-P1)+(a+b)P1P2=bP2(1-P1)+(a+b)P1P2. E(X)-E(Y)=aP1(1-P2)-bP2(1-P1).,专题一,专题二,专题三,专题四,(2)已知a=10,b=20,则E(X)-E(Y)=10P1-20P2+10P1P2. 当10P1-20P2+10P1P20, 即P1+P1P22P2时,选择先答问题A.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二 事件的相互独立与二项分布的应用 独立事件与二项分布是高考的一个重点,独立事件是
5、相互之间无影响的事件,P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B独立的充要条件.二项分布实质是独立事件的一类具体情况.一定记好n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和均值; (2)求这位挑战者总得分不为负数(即0)的概率. 提示
6、:本题解题的关键是明确的取值及取不同值时所表示的试验结果,明确的取值后,利用相互独立事件的概率公式计算即可.,专题一,专题二,专题三,专题四,解:(1)如果三个题目均答错,得0+0+(-10)=-10(分). 如果三个题目均答对,得10+10+20=40(分). 如果三个题目一对两错,包括两种情形: 前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0(分); 前两个错,第三个对,得0+0+20=20(分). 如果三个题目两对一错,也包括两种情形: 前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10(分); 第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30(分). 故的可能取值为-10,0,
7、10,20,30,40.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,提示:本题考查相互独立事件的概率. (1)将三个事件分别设出,列方程求解. (2)用间接法求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三 离散型随机变量的均值 离散型随机变量的均值是离散型随机变量的重要的数字特征,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此不仅要掌握其计算公式,还要掌握其计算方法. 1.利用定义求均值 根据定义求离散型随机变量的均值首先要求分布列,然后利用公式E(X)=x1p1+x2p2+xnpn求解.,专题一,专题二,专题三
8、,专题四,应用1某套数学试卷中共有8道选择题,每道选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求: (1)该考生得分为40分的概率; (2)该考生所得分数的分布列及均值E(). 提示:分析出得分的取值情况,写出分布列,求出E().,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,2.
9、利用分布模型的均值公式求均值 (1)若X服从两点分布 ,则E(X)=p. (2)若XB(n,p),则E(X)=np.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用2某通信公司共有客户3 000人,若通信公司准备了100份礼物,邀请客户在指定时间来领取,假设任意客户去领奖的概率为4%.问:通信公司能否向每一位客户都发出邀请?若能使每一位领取人都得到礼品,通信公司至少应准备多少份礼品? 提示:有多少人来领奖是一个随机变量,这显然服从二项分布,用均值来反映平均来领奖的人数,即能说明问题. 解:设来领奖的人数X=k(k=0,1,2,3 000),则P(X=k)= (0.04)k(1-0.04)3 000-k,
10、可见XB(3 000,0.04),所以E(X)= 3 0000.04=120.因此,通信公司不能向每一位客户都发出邀请.若能使每一位领取人都得到礼品,则通信公司至少应准备120份礼品.,专题一,专题二,专题三,专题四,3.利用性质求均值 应用3已知随机变量的分布列如下表,且=-2+3,则E()= . 提示:先求E(),再利用E()=-2E()+3求E(). 所以E()=-2E()+3=3. 答案:3,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四 综合应用 离散型随机变量的分布列、均值,独立事件概率等概念是这一章的重点内容,这一部分知识属于应用数学范畴中的概率知识,在经济以及其他具体社会领域应用广泛,
11、体现了“数学来源于社会,又服务于社会”的原则.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财,提出了三种方案.第一种方案:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能),且获利的概率 第二种方案:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万块钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能亏损10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 第三种方案:李师傅妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万块钱全部存入银行一
12、年,现在存款年利率为4%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.,专题一,专题二,专题三,专题四,提示:计算三种方案的均值、方差得出选择方案. 解:若按方案一执行,设收益为x万元,则其分布列为,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,应用2受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:,专题一,专题二,专题三,专题四,将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中
13、随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.,提示:(1)利用互斥事件的概率公式求其概率. (2)确定随机变量X1,X2可能的取值,分别求出X1,X2每个值对应概率,列出X1,X2的分布列. (3)代入均值公式求出E(X1),E(X2),比较E(X1),E(X2)大小,做出判断.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题
14、一,专题二,专题三,专题四,应用3某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?,专题一,专题二,专题三,专题四,2,3,4,1,5,6,7,1.(2015课标全国高考)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次. 答案:A,2,3,4,1
15、,5,6,7,2.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .,2,3,4,1,5,6,7,2,3,4,1,5,6,7,3.(2015课标全国高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79,(
16、1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);,2,3,4,1,5,6,7,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,2,3,4,1,5,6,7,解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图所示: 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,2,3,4,1,5,6,7,(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意
