《2018-2019学年高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.1距离问题与高度问题课件北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.1距离问题与高度问题课件北师大版必修（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 解三角形的实际应用举例,第1课时 距离问题与高度问题,1.了解仰角、俯角、方向角、方位角的概念及其在解三角形问题中的应用. 2.了解正弦定理、余弦定理在求实际问题中的距离、高度等的作用.,1.正弦定理 其中R是ABC外接圆的半径. 2.余弦定理及推论 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C .,答案:C,3.仰角、俯角 在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线以下时,称之为俯角,如图所示.,【做一做2】 从地面上观察一座建在山顶上的建筑物,测得其视角为,同时测得
2、建筑物顶部的仰角为,则山顶的仰角为( ). A.+ B.- C.- D. 答案:C,4.方位角、方向角 方位角:指从正北方向沿顺时针方向转到目标方向线所成的角,如图中点B的方位角为.,图,图,方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角,如南偏西60,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60.如图中ABC为北偏东60或东偏北30.,【做一做3】 一艘海轮从A处出发,以40 n mile/h的速度沿南偏东40方向直线航行,30 min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是 ( ).,解析:如图
3、所示,AB=20 n mile,BAC=30, ABC=40+65=105,ACB=45. 由正弦定理,答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一 求中间有障碍物的两点间的距离 【例1】 如图所示,为了开凿隧道,要测量隧道上D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C,测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80 m,BE=40 m(A,D,E,B在一条直线上),计算隧道DE的长(精确到1 m). 分析:显然,BC,AC及其夹角C都已知,故可利用余弦定理直接求得AB的长,进而减去AD与BE的长得DE的长.,题型一,题型二,题型三,题型四,
4、反思求中间有障碍物的两点间的距离问题,可直接利用正弦定理与余弦定理求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 如图所示,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离.测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55 m,BAC=51,ACB=75,求A,B两点间的距离(精确到0.1 m).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型二 求两个不可到达的点之间的距离 【例2】 如图所示,已知海岸边A,B两海事监测站相距60 n mile,为了测量海平面上两艘轮船C,D间的距离,在B,A两处分别测得CBD=75,ABC=30,DAB=45,CAD=60(A,B,C,D在同一个水平
5、面内). 请计算出C,D两艘轮船间的距离. 分析:欲求C,D间的距离,必在三角形内求解,本题既可在ACD内求解,又可在BCD内求解,已知一个角,则可根据已知条件求出三角形的另外两条边.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思本题是解决测量不能到达的两点间的距离的问题,这是测量中的常见题型,需要将求距离问题转化为三角形问题进行思考,解决方法一般是通过解一系列的三角形,达到求解目的.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60的视角
6、,从B岛望C岛和A岛成75的视角,则B岛与C岛之间的距离是( ).,答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,题型三 求底部可到达的物体的高度 【例3】 如图所示,为测量校园内一棵松树AB的高度,一个人站在距离松树a m的E处,利用测角仪测得仰角ACD为,已知测角仪的高度为b m,求松树的高. 分析:直接用正切求得AD长,再利用AB=AD+DB求得松树高. 解:由题意可知AD=atan ,AB=b+atan (m),即松树的高为(b+atan )m. 反思求底部可到达的物体的高度,实质就是解直角三角形.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在国庆期间,去北京旅游的王凡在天安门广场A
7、处看到正前方上空一红灯笼,测得此时的仰角为45,前进20 m到达B处,测得此时的仰角为60.王凡身高1.8 m,试计算红灯笼的高度(精确到1 m). 分析:根据题意画出平面图形,解ABC可得BC,在RtBDC中可求得CD,进而可得CD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四 求底部不可到达的物体的高度 【例4】 一座塔周围有围栏,要测量它的高度,某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m以后,望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30,求塔的高度. 分析:依题意画出直观图如图所示,设某人在点C,AB为塔高,他沿CD前进,且CD=40 m.塔高AB为定值
8、,要使仰角AEB最大,则BE必最小,故BE的长为点B到CD的距离.要求AB,必须先求BE,由于DBE是直角三角形,可在DBC中先求出DB或BC,这样BE可求,则问题可解.,题型四,题型一,题型二,题型三,解:如图所示,在BDC中,CD=40 m,BCD=90-60=30,DBC=180-45=135.,题型四,题型一,题型二,题型三,反思本题既有方向角,又有仰角,要注意运用空间想象作图,作出的示意图应是立体图,这是本题求解的一个关键;破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关键.已知塔与塔所在的平面是垂直的,这样就有了直角三角形,不但为求塔的高度提供了三角形模型,而且还顺利地找到了“最大
9、的仰角”.在解三角形的实际应用问题中,弄清楚与测量有关的概念,在正确作出示意图的同时,还要注意简单的涉及空间图形的问题.,题型四,题型一,题型二,题型三,【变式训练4】 如图所示,某湖心岛上有一棵树,由于不能进入岛上,为测得它的高度h,在湖边的地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30,在B处测得点P的仰角OBP=45,又测得AOB=60,求树的高度h(精确到0.1 m).,1,2,3,4,5,1如图所示,某河段的两岸可视为平行的,在河段的一岸边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得CAB=75,CBA=45,且AB=200 m,则A,C两点间的距离为( ).,答案:A,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,3如图,测量河对岸塔高AB时,选择与塔底在同一水平面的两个测量点C与D,已知测得BCD=75,BDC=45,CD=60 m,在点C处得塔顶A的仰角为30,则塔高为( ).,答案:A,1,2,3,4,5,4如图所示,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高60 m,则山高为 .,1,2,3,4,5,
