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1、2.3.4 圆与圆的位置关系,一,二,一、几何法判断圆与圆的位置关系 【问题思考】 1.两圆相切时,两圆圆心与切点满足什么性质? 提示:两圆相切时,两圆圆心与切点在同一条直线上. 2.两圆相交时,两圆圆心的连线与公共弦之间有怎样的关系? 提示:两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦. 3.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,两圆的公切线分别有几条? 提示:两圆外离时,公切线有4条,外切时有3条,相交时有2条,内切时有1条,内含时没有公切线.,一,二,4.填写下表: 若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:,一,二,5.做一做:已知0r +1,则两圆x
2、2+y2=r2与(x-1)2+(y+1)2=2的位置关系是( ) A.外切 B.相交 C.外离 D.内含,解析:设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O,则O(1,-1).,答案:B,一,二,6.做一做:若圆O1:x2+y2=4与O2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a= . 解析:两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1,由两圆内切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以a=1. 答案:1,一,二,二、代数法判断圆与圆的位置关系 【问题思考】 1.如何利用代数法来判断圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0的位置关系?,-得
3、2x+6y=0,即x=-3y. 把代入并整理,得5y2+9y=0. 故=81-450=810,即两圆相交.,一,二,2.填写下表: 设两圆方程分别为 联立方程得,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若两圆只有一个公共点,则这两圆外切. ( ) (2)若两圆无公共点,则两圆外离. ( ) (3)两个半径不相等的同心圆从两圆位置关系上来说为内含. ( ) (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x
4、2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1,且R),此圆系方程涵盖了过圆C1与圆C2的交点的所有圆的方程. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,圆与圆位置关系的判断 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0.试判断两圆的位置关系,若有交点,求出交点坐标. 解:变为标准方程,C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2. 圆心坐标分别为(1,0)和(2,-1),故其交点坐标为(3,0),(1,-2).,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟判断两圆的位置关系的方
5、法有两种: (1)(几何法)利用两圆圆心之间的距离d与两圆的半径r1,r2的关系判断. 外离dr1+r2; 外切d=r1+r2; 相交|r1-r2|dr1+r2; 内切d=|r1-r2|; 内含d|r1-r2|. (2)(代数法)两圆的位置关系,可利用两圆方程所构成的方程组,断,当方程组无解时,两圆外离或内含;当方程组有唯一解时,两圆外切或内切;当方程组有两解时,两圆相交.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,两圆的相切问题 【例2】 (1)圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.0条
6、(2)求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ y=0相切于点M(3,- )的圆的方程.,(1)解析:由x2+y2+4x-4y+7=0,得圆心和半径分别为O1(-2,2),r1=1; 由x2+y2-4x-10y+13=0,得圆心和半径分别为O2(2,5),r2=4. 因为d(O1,O2)=5,r1+r2=5,即r1+r2=d(O1,O2),所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3条公切线. 答案:B,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,(2)解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,解由组成的方程组得a=4,b=0,
7、r=2或a=0,b=-4 ,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4 )2=36.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟1.对于两圆的公切线问题实际上是判断两圆的位置关系问题. 2.处理两圆相切问题的关键点: (1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,(1)将本例2(2)变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(
8、3,- )的圆的方程”,如何求解? (2)将本例2(2)改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切,试求实数m的值.”,解:(1)因为圆心在x轴上,所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2.,所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,(2)圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为r1=1,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,两圆的相交问题 【例3】 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系;
9、 (2)求公共弦所在直线的方程; (3)求公共弦的长度. 思路分析:只有当两圆相交时,才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程,才能求公共弦的长度.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,得 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10.,所以r1-r2|C1C2|r1+r2. 所以两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,(3)方法一:两方程联立,得方程组,两式相减得x=2y-4, 把代入得y2-2y=0,所以y1=0,y
10、2=2.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,方法二:两方程联立,得方程组,两式相减得x-2y+4=0,即为两圆相交弦所在直线的方程. 由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心为C(1,-5),半径r=5 .,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程: 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法: (1)(代数法)将两圆的方程联立,解
11、出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)(几何法)求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练1圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2 ,求圆O2的方程.,所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,利用两圆的位置关系求参数问题 【例4】 若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的
12、取值范围是( ) A.m121 C.1m121 D.1m121 解析:x2+y2+6x-8y-11=0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.,答案:C,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟利用两圆位置关系求参数取值或范围的步骤: (1)化圆的方程为标准方程,写出圆心坐标和半径; (2)计算出两圆的圆心距; (3)通过圆心距与半径和及半径差的关系列出参数满足的等式或不等式,进而求出参数的取值或范围.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练2已知圆x2+y2=r2与圆(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值是( ),答案:D,思维辨
13、析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,圆系方程 【例5】 求经过圆x2+y2+6x-4=0和圆x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 思路分析:解法一:首先求出交点坐标,然后用待定系数法求解;解法二:利用圆系方程求解.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.,即x2+y2-x+7y-32=0.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,解法二设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1)
14、,故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟求圆的方程方法较多,但利用圆系方程或圆的几何性质求解,运算量小且简单,以下圆系方程是较常用的形式. (1)同心圆的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中a,b为定值,r为参数,r0. (2)半径相等的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中r0且r是定值,a,b是参数. (3)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=
15、0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1). 若=-1,则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,表示过两圆交点的直线方程.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练3经过直线x-2y+4=0和圆x2+y2-2x+10y-24=0的交点且圆心在x+y=0上的圆的方程为 .,解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+(x-2y+4)=0,所以所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0. 答案:x2+y2+6x-6y+8=0,思维辨析,探究一,探
16、究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,因方程丢解而致误 【典例】 已知集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2,若AB中有且仅有一个元素,求a的值. 错解由条件AB中有且仅有一个元素可知两圆相切,所以|O1O2|=5=a+2或5=a-2.所以a=3或a=7. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:本题错解产生的根源是误认为参数a是正数了. 正解:由AB中有且仅有一个元素,可知两圆相切, 所以|O1O2|=5=|a|+2或5=|a|-2|, 解得a=3或a=7. 综上所述,a的值为3或7.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,防范措施在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中要明确各个参数的含义,尤其是r这个量,当r代表圆的半径时,理所当然r0.但在一些情景下,圆的标准方程(
