《2018-2019学年高中数学第二章平面解析几何2.3.1圆的标准方程课件新人教b版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学第二章平面解析几何2.3.1圆的标准方程课件新人教b版必修（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1 圆的标准方程,一,二,三,一、圆的定义 【问题思考】 1.填空:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长是圆的半径.设M(x,y)是C上的任意一点,点M在C上的条件是|CM|=r,r为C的半径. 2.平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么? 提示:是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面.,一,二,三,二、圆的方程 【问题思考】 1.在平面直角坐标系中,圆是函数的图象吗? 提示:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴
2、的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象. 2.填空:(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2. (2)圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.,一,二,三,答案:A,一,二,三,三、点与圆的位置关系 【问题思考】 1.用数形结合的思想方法说明直线y=k(x-3)与圆x2+y2=16的位置关系怎样? 提示:相交.因为直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),又点(3,0)在圆x2+y2=16的内部,故直线与圆是相交的. 2.填空:设点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则: 点P在圆上(x0-a)2+(y0
3、-b)2=r2|PC|=r; 点P在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|r; 点P在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|r.,一,二,三,3.做一做:点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为 . 解析:由题意知(1-a)2+(1+a)24, 所以a1或a-1. 答案:(-,-1)(1,+),一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)为圆心,以2为半径的圆. ( ) (2)在平面直角坐标系中,只要确定了圆心和半径,那这个圆的标准方程就确定了. (
4、 ) (3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R为圆的半径). ( ) (4)函数y=b (r0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思想方法,直接法求圆的标准方程 【例1】 (1)圆心是C(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 (2)已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为
5、 . 解析:(1)因为圆心是C(-3,4),半径长为5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25. (2)AB的中点坐标即为圆心坐标C(1,-3),又圆的半径r=|AC|= , 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29. 答案:(1)D (2)(x-1)2+(y+3)2=29,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟通过以上例题可总结出以下规律: (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可知,圆心为(a,b),半径为r,它体现了圆的几何性质;圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程也就确定了,因此确定圆的方程
6、需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. (2)几种特殊形式的圆的标准方程,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析:圆的半径r= ,圆心坐标为(1,1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,待定系数法求圆的标准方程 【例2】 求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=
7、1-x相切于点(2,-1); (2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得的弦长为4. (3)已知一个圆关于直线2x+3y-6=0对称,且经过点A(3,2),B(1,-4). 思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.,解:(1)设圆心为(a,-2a),半径为r, 则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2.,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)设圆的半径为r,则圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得,所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.,探究一,探究二,探究三,思想方
8、法,即x+3y+1=0. 因为圆心在弦AB的垂直平分线上,也在对称轴上,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.待定系数法求圆的标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤如下: (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r,代入圆的方程中,求出圆的标准方程. 2.有时求圆的方程时,用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决. 圆的常用几何性质如下: (1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上; (2)圆心必是两条不平行的弦的中垂线的交点; (
9、3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+m2; (4)直径所对的圆周角是90,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程. 解:设点C为圆心, 因为点C在直线l:x-2y-3=0上, 所以可设点C的坐标为(2a+3,a). 又因为该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|.,解得a=-2. 所以圆心坐标为C(-1,-2),半径r= . 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.,探究一,探究二,探究三,思想方法,点与
10、圆的位置关系 【例3】 已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为什么? 思路分析:先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案. 解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 把A,B,C的坐标分别代入,得,所以,经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5. 把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5. 所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点在同一个圆上.,探究一,探究二,探究三,思想方
11、法,反思感悟判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种: (1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小; (2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.,探究一,探究二,探究三,思想方法,试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系. 解:所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5. 经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=135,因此点(3,6)在该圆外.,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用数形结合思想求有关圆的最值问题
12、 【典例】 如图所示,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值. 思路点拨:本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,再借助图形特点解决问题. 解:设点P的坐标为(x0,y0), 所以d=|PA|2+|PB|2,因为原点O在圆外,点C的坐标为(8,6),圆的半径为1, 所以|OP|max=|CO|+1=10+1=11, |OP|min=|CO|-1=10-1=9. 所以dmax=2112+2=244, dmin=292+2=164.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛如图
13、所示,点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点,则圆上到点P距离最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A,圆上离点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练实数x,y满足x2+y2=4(y0),试求m= x+y的取值范围.,解:作出半圆:x2+y2=4(y0)和动直线l:y=- x+m. 如图知,在l与半圆有公共点的前提下,当l与半圆相切时,纵截距最大. 设这时切点为B,l与y轴相交于A,则OBAB,|OB|=2,OAB=30. |OA|=4. 当l通过半圆与x轴的负半轴的交点C时,纵截距最小. 设这
14、时l与y轴相交于D点. |OC|=2,CDO=30.,1,2,3,4,5,6,1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是( ),答案:B,1,2,3,4,5,6,2.以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的标准方程为 ( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2=16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=25 解析:因为圆与x轴相切,所以半径r=4. 所以圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=16. 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A.(x-2
15、)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析:求圆关于某点或某直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.易求得圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0),则所求的圆的方程为(x-2)2+y2=5. 答案:A,1,2,3,4,5,6,A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 答案:D,1,2,3,4,5,6,5.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为 .,解得a=2,所以圆心为(2,0),半径为 . 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 答案:(x-2)2+y2=10,1,2,3,4,5,6,6.一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程. 解:(方法一)因为圆心在直线y=x+2上, 所以设圆心坐标为(a,a+2). 则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2, 因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,1,2,3,4,5,6,
