《浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用课件（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.5 空间向量及其应用,高考数学,考点一 空间角 1.两条异面直线所成的角的范围是 . 当= 时,这两条异面直线互相垂直. 2.斜线AO与它在平面内的 射影 所成的角叫做直线和平面所成 的角(或夹角). 3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角 中 最小 的角.如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的 角为 90 ;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面 所成的角为 0 .,知识清单,4.直线和平面所成角的范围为 . 5.斜线和所交平面所成的角的范围为 .,考点二 空间向量在立体几何中的应用 1.空间向量及运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b
2、1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3- b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0) a1=b1,a2=b2,a3=b3 ;ab a1b1+a2b2+a3b3=0 . (2)设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 这就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的 终点 的坐标减 起点 的坐标. 2.两个向量的夹角及两点间的距离公式 (1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a
3、|= = ;|b|= = ,ab=a1b1+a2b2+a3b3,cos= .,(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则| |= = ,或者dAB=| |.其中dAB表示A与B两点间的 距离,这就是空间两点间的距离公式. 3.若a,b均为非零向量,则向量a在向量b上的射影为|a|cos= . 4.设n是平面M的一个法向量,AB、CD是M内的两条相交直线,则 n =0, n =0.由此可求出法向量n(向量 及 已知). 5.利用空间向量证明线面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向 量b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明 a=b 即可.或者已,知直线上的A、B两点坐标,在
4、平面内找出两点C、D,写成坐标形式, =(x1,y1,z1), =(x2,y2,z2),只需证明x1=x2且y1=y2且z1=z2. 6.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个方 向向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可. 7.证明线面垂直:已知直线l,平面,要证l,只要在l上取一个非零向 量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证pa且pb,也就是a p=0且bp=0. 8.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直. 9.空间角公式 (1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为 l1、l2所成的角,则cos =|co
5、s |= .,(2)线面所成角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法 向量,为l与所成的角,则sin =|cos|= . (3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos= .,异面直线所成角的求解策略 1.用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角. 2.用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角. 例1 如图,平面ABCD平面ADEF,其中,四边形ABCD为矩形,四边形 ADEF为梯形,AFDE,AFFE,AF=AD=2,DE=1.求异面直线EF与BC所 成角的大小.,方法技巧,解题导引 导引
6、一:延长AD,FE交于Q利用线线平行得异面直线所成角 解三角形得结论 导引二:证明三线互相垂直建立空间直角坐标系计算两直线的方向 向量的夹角,得结论,解析 解法一:延长AD,FE交于Q,如图.,因为四边形ABCD是矩形,所以BCAD, 所以AQF是异面直线EF与BC所成的角. 在梯形ADEF中,因为DEAF,AFFE,AF=AD=2,DE=1,所以DQ=AD=2,AQF=30.故异面直线EF与BC所成的角为30. 解法二:ABAD,平面ABCD平面ADEF,且平面ABCD平面ADEF =AD,AB平面ADEF,故AB,AF,EF两两垂直,以F为原点,AF,FE所在的 直线分别为x轴,y轴,过点
7、F平行于AB的直线为z轴,建立空间直角坐标系 F-xyz,如图.,在梯形ADEF中,由AFDE,AFFE,AF=AD=2,DE=1,得FE= . 则F(0,0,0),A(-2,0,0),E(0, ,0),D(-1, ,0), 所以 =(0, ,0), = =(1, ,0). 则cos= = = , 所以=30, 故异面直线EF与BC所成角的大小为30.,评析 本题考查用“平移法”作异面直线所成角,用“向量法”求异面 直线所成角,考查逻辑推理能力和空间想象能力.,直线与平面所成角的求解策略 1.按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形. 2.求平面的法向量,利用直线所在的方向向量与
8、平面的法向量所成的锐 角和直线与平面所成角互余求线面角. 3.利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角 的正弦值求线面角. 例2 (2017浙江镇海中学第一学期期中,17)在三棱锥D-ABC中,DA=DB =DC,D在底面ABC上的射影为E,ABBC,DFAB于F. (1)求证:平面ABD平面DEF; (2)若ADDC,AC=4,BAC=60,求直线BE与平面DAB所成的角的正弦 值.,解题导引 (1)由线面垂直得线线垂直由线面垂直的判定定理得线面垂直由面面垂直的判定得结论 (2)导引一:利用面面垂直的性质过点作平面的垂线作出线面角解 三角形得结论 导引二:建立空间直角坐标
9、系,计算各点的坐标求平面DAB的法向量 结论,解析 (1)证明:由题意知DE平面ABC,所以ABDE,又ABDF,且DE DF=D,所以AB平面DEF, 又AB平面ABD,所以平面ABD平面DEF. (2)解法一:由DA=DB=DC,知EA=EB=EC,所以E是ABC的外心. 又ABBC,所以E为AC的中点,如图所示.,过E作EHDF于H,连接BH,则由(1)知EH平面DAB, 所以EBH即为BE与平面DAB所成的角. 由AC=4,BAC=60,得AB=AE=BE=2,所以EF= , 又DE=2, 所以DF= = ,EH= , 所以sinEBH= = . 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,
10、则A(0,-2,0),D(0,0,2),B( ,-1, 0), 所以 =(0,-2,-2), =( ,-1,-2), =( ,-1,0).,设平面DAB的法向量为n=(x,y,z), 由 得 取z=1,得n= . 设 与n的夹角为,则cos = = = , 所以BE与平面DAB所成的角的正弦值为 .,评析 本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,平面的法向 量和线面角的作法和计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.,平面与平面所成角的求解策略 二面角的平面角的作法是重点,构造平面角主要有以下方法: (1)根据定义; (2)利用二面角的棱的垂面; (3)利用两同底等腰三角形底边上的两条中线;
11、 (4)射影法,利用面积射影定理S射=S斜cos ; (5)向量法,利用组成二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角相 等或互补. 例3 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,19)如图,在四棱锥P-ABCD中, 侧面PAB底面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,点M在 线段PC上(不含端点),且BM平面PAC.,(1)求证:AP平面BCP; (2)求二面角B-AC-P的正弦值.,解题导引 (1)由线面垂直得APBM由面面垂直得APBC由线面垂直的判 定得结论 (2)建立空间直角坐标系,计算各点的坐标求两平面的法向量结论,解析 (1)证明:BM平面PAC,BMAP. 侧面PA
12、B底面ABCD,且BCAB, BC侧面PAB,BCAP. 又BC与BM是平面BCP内两相交直线, AP平面BCP. (2)设AB的中点为O,CD的中点为N,连接OP、ON,则ONAB.由平面 PAB平面ABCD,且POAB,得PO底面ABCD,POON.分别以 OB、ON、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,由AP平面BCP,得APBP,又PA=PB,AB=2,可得OP=1. 则各点坐标为A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,1).平面ABC的一个法向 量为n=(0,0,1). 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z). 又 =(1,0,1
13、), =(2,2,0),所以由m =0,m =0,得 取z=1,得m=(-1,1,1). 设二面角B-AC-P的平面角为,则|cos |= = ,故sin = .即二 面角B-AC-P的正弦值为 .,评析 本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定和性质,法向量和二 面角的计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.建立恰当的空间直角 坐标系是解题的关键.,用向量证明平行或垂直的求解策略 1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行,只需证明两直线的方向向量是共线向量. (2)线面平行,证明直线的方向向量能被平面的两个基底所表示,或证明 直线的方向向量与平面的法向量垂直. (3)面面平行,证明两平面的法向量
14、是共线向量. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直,只需证明两直线的方向向量互相垂直. (2)线面垂直,证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量. (3)面面垂直,证明两平面的法向量互相垂直.,例4 如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点. (1)求证:AF平面BCE; (2)求证:平面BCE平面CDE; (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.,解题导引 (1)建立空间直角坐标系,计算 点的坐标、向量的坐标得向量 , , 的关系结论 (2)由向量法证线面垂直由面面垂直的判定得结论 (3)求平面的法向量由直线的方向向量与平面
15、的法向量所成角与线面角的关系得结论,解析 设AD=DE=2AB=2a(a0),建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a, a,0),E(a, a,2a). F为CD的中点, F . (1)证明: = , =(a, a,a), =(2a,0,-a), = ( + ),又AF平面BCE, AF平面BCE. (2)证明: = , =(-a, a,0), =(0,0,-2a), =0, =0, , ,又CDED=D, AF平面CDE,又AF平面BCE, 平面CDE平面BCE. (3)设平面BCE的法向量为n=(x,y,z), 由n =0,n =0可得x+ y+z=0,2x-z=0, 取n=(1,- ,2), 又 = ,设BF和平面BCE所成的角为, 则sin = = = , 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 .,评析 本题考查利用向量证明线面平行,面面垂直,平面的法向量和线 面角的计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.建立恰当的空间直角 坐标系是解题的关键.,
