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1、3.2 导数与函数的小综合,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 . (2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有 在a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则有 在a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 .,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,-4-,知识梳理,考点自测,2.函
2、数的极值 一般地,当函数f(x)的图象在点x0处连续时, (1)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,-5-,知识梳理,考点自测,3.函数的最值 (1)图象在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在a,b上连续,求f(x)在a,b上的最大值和最小值
3、的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),-6-,知识梳理,考点自测,1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,-7-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)
4、0.( ) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),-8-,知识梳理,考点自测,2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是 ( ) A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数 D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数,C,3.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(
5、) A.-4 B.-2 C.4 D.2,D,解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2, 易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.,-9-,知识梳理,考点自测,A,-10-,知识梳理,考点自测,5.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为 .,-3,3,解析:函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立, =4a2-360,解得-3a3.,-11-,考点一,考点二,考点三,
6、学科素养微专题,考点四,考点五,讨论函数的单调性或求单调区间 例1已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在 处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,-12-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,-13-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区
7、间? 解题心得1.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.,-14-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,对点训练1已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性.,当02时,f(x)0;-a2,即a-a时
8、,f(x)0;2x-a时,f(x)0, f(x)在(0,2),(-a,+)内单调递增,在(2,-a)内单调递减. 综上所述,当a=-2时,f(x)在(0,+)内单调递增;当-2a0时,f(x)在(0,-a),(2,+)内单调递增,在(-a,2)内单调递减;当a-2时,f(x)在(0,2),(-a,+)内单调递增,在(2,-a)内单调递减.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,函数单调性的应用(多考向) 考向1 利用函数单调性比较大小,解析:由f(x)=f(2-x),得函数f(x)的图象关于直线x=对称,令g(x)=f(x)cos x,则g(x)=f(x)cos x
9、-f(x)sin x0, 所以当0x时,g(x)在(0,)内递增,A,思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考向2 利用函数单调性求参数的范围 例3(1)已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上是减函数,则a的取值范围是( ),C,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考如何利用函数的单调性求参数的范围? 解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单
10、调性进行大小的比较. 2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,A,C,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-2
11、2-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,求函数的极值 例4(2017全国)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,A,解析:由题意可得, f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如
12、下表:,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1, 故选A.,思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.,-25-,考点一,
13、考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,3.利用导数研究函数极值的一般流程:,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-27-,求函数的最值 例5(2017河北衡水中学调研)已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是( ),A,解析:令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a, 若a=0,则由f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0; 若a0,知函数单调增,x-, 此时f(x)-,不可能恒有f(x)0. 若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a, 由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2
14、-ln a), aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a),考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考求函数的最值可划分为哪几步? 解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,对点训练4(2017湖南衡阳三次联考,文11)已知x=1
15、是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( ) A.ln ab-1 B.ln ab-1 C.ln a=b-1 D.以上都不对,B,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,已知极值或最值求参数范围 例6(2017福建泉州一模,文12)若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2 (0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是( ),C,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考已知极值或最值如何求参数的范围? 解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则
16、f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,D,解析:当x2时,函数图象的对称轴方程为x=a, f(2)是函数f(x)的最小值,a2.,f(x)0, f(e)是函数的极小值.f(2)是函数f(x)的最小值, f(e)f(2),-1a6, 2a6.故选D.,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-34-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,高频小考点导数法求参数的取值范围,答案:C,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,
