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1、第二章 空间向量与立体几何,5 夹角的计算,学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念. 2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 直线间的夹角,思考1,设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为a，b吗？,答案,不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为0， 内的角时，l1与l2的夹角为a，b，否则为a，b.,思考2,当两条直线平行时，它们的夹角是多少？,答案,0.,梳理,(1)共面直线的夹角,(2)异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上
2、任取一点A作ABl2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.,垂直,(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.,s1，s2,s1，s2,知识点二 平面间的夹角,思考,若平面1与平面2平行，则它们的夹角是多少？,答案,0.,梳理,(1)平面间夹角的概念 如图，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意 一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上 作直线l2l，则l1l2R.我们把直线l1和l2的夹角叫 作平面1与2的夹角. 由平面间夹角的概念可知，空间中两个平
3、面的夹角的范围是 . 当夹角等于0时，两个平面 ；当夹角等于 时，两个平面互相 .,重合,垂直,(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定. 已知平面1与2的法向量分别为n1与n2. 当0n1，n2 时，平面1与2的夹角等于 ；当 n1，n2时，平面1与2的夹角等于 . 事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos |cosn1，n2|.,n1，n2,n1，n2,知识点三 直线与平面的夹角,思考,若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？,不一定.,答案,梳理,(1)直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角 叫
4、作该直线与此平面的夹角，如图所示. (2)直线与平面夹角的范围 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是 . 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 . 由此可得，直线与平面夹角的范围是 .,0,(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面所成的角为.,即sin |cosn，a|.,题型探究,类型一 直线间的夹角求解,例1 已知直线l1的一个方向向量为s1(1，0，1)，直线l2的一个方向向量为s2(1，2，2)，求直线l1和直线
5、l2夹角的余弦值.,解答,s1(1，0，1)，s2(1，2，2)，,s1，s290， 直线l1与直线l2的夹角为s1，s2，,利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两条直线的夹角的范围是0， ，所以这两者不一定相等，还可能互补. 由于任意两条直线的夹角0， ，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|coss1，s2|.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA ，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值
6、.,解答,建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，,类型二 求平面间的夹角,例2 如图，已知ABCD为直角梯形，DABABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD .求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值.,解答,如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，,设平面SCD的一个法向量为n(x，y，z)，,令z1，得n(2，1，1).,反思与感悟,利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面间夹角的大小.,跟踪训练2 如图，在四棱
7、锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC. (1)证明：SE2EB；,证明,以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，,设平面SBC的一个法向量为m(a，b，c).,设平面EDC的一个法向量为n(x，y，z).,由平面EDC平面SBC，得mn，mn0，20， 即2，SE2EB.,(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小.,解答,故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60.,类型三 直线与平面的夹角,例3 已知直线l的一个方向向量为s(1，0，
8、0)，平面的一个法向量为n(2，1，1)，求直线与平面夹角的正弦值.,解答,反思与感悟,注意公式sin |cosn，a|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.,跟踪训练3 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值.,解答,由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).,0，90，,当堂训练,1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，1，3)，(2，2，4)，则这
9、两个平面夹角的余弦值为,答案,解析,2,3,4,5,1,2.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,设AA12AB2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，,设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，,2,3,4,5,1,令z1，则y2，x2， 所以n(2，2，1). 设直线CD与平面BDC1的夹角为，,2,3,4,5,1,3.在矩形ABCD中，AB1，BC ，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD的夹角大小为_.,答案,解析,30,建立如图所
10、示的空间直角坐标系，,平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，,所以斜线PC与平面ABCD的法向量的夹角为60， 所以斜线PC与平面ABCD的夹角大小为30.,2,3,4,5,1,4.已知直线l1的一个方向向量为a(1，1，2)，直线l2的一个方向向量 为b(3，2，0)，则两条直线夹角的余弦值为_.,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知平面1的一个法向量为n1(1，1，3)，平面2的一个法向量为n2(1，0，1)，求这两个平面夹角的余弦值.,n1(1，1，3)，n2(1，0，1)，,解答,规律与方法,用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.,本课结束,
