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1、2.2 排序不等式,1.定理1 设a,b和c,d都是实数,如果ab,cd,那么ac+bdad+bc,此式当且仅当a=b(或c=d)时取“=”号. 2.定理2 (1)顺序和、乱序和、逆序和: 设实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1a2a3,b1b2b3,则a1b1+a2b2+a3b3 a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=a3(或b1=b2=b3)时取“=”号. 通常称a1b1+a2b2+a3b3为顺序和, 为乱序和, a1b3+a2b2+a3b1为逆序和(倒序和).,(2)定理2(排序不等式): 设有两个有序实数组a1a
2、2an及b1b2bn,则(顺序和)a1b1+a2b2+anbn(乱序和) (逆序和)a1bn+a2bn-1+anb1. 其中j1,j2,jn是1,2,n的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=an(或b1=b2=bn)时取“=”号. 名师点拨 1.排序不等式中能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、逆序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与逆”,而乱序和则是不按“常规”的顺序. 2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=an或b1=b2=bn,对于我们解决某些问题是非常关键的,它是命题成立的一种条件,所以要牢记.,【做一做】 已
3、知两组数1,2,3和25,30,45,若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 . 解析:c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和125+230+345=220,最小值则为反序和145+230+325=180. 答案:220 180,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)对于给定的两组数,顺序和、逆序和与乱序和都是唯一的.( ) (2)对于任意给定的两组数,逆序和不大于顺序和.( ) (3)设a1,a2,a3是1,2,3的任一排列方式,则a1+2a2+3a3的最大值是14.( ) 答案:(1) (2
4、) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以根据欲证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将欲证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、逆序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,分析利用排序不等式求解该式的最小值关键是找出两组有序数组,然后根据逆序和乱序和顺序和求解最小值.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值时,先要对待证不等式及已知条件仔细分析,观察不等式的结构,明确两个数
5、组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及逆序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.另外,最值一般是顺序和或逆序和.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,因忽视等号成立的条件而致误 【典例】已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围. 错解不妨设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1c1c2c32,则a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312,a1b1+a2b2
6、+a3b3的取值范围为3,12. 正解设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1c1c2c32,则a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312. a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,不等式中的等号不成立,a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得 1.本题由于a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等号不成立. 2.牢记排序不等式中取等号的条件是a1=a2=an或b1=b2=bn.,探究一,探究二
7、,思维辨析,A.1 B.n C.n2 D.无法确定,答案:B,1,2,3,4,1.已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值与最小值分别为( ) A.132,6 B.304,212 C.22,6 D.21,36 解析:顺序和最大,所以最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,反序和最小,故最小值为a1b5+a2b4+a
8、3b3+a4b2+a5b1=212. 答案:B,1,2,3,4,2.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是 ( ) A.MN B.MN C.MN D.MN 解析:取两组数a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知,此题中“顺序和”大于“乱序和”. 答案:B,1,2,3,4,3.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件、5件及2件,现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则最少和最多花的钱数为( ) A.19元,24元 B.20元,19元 C.19元,25元 D.25元,27元 解析:由排序不等式可知,最少为23+42+51=19元,最多为21+42+53=25元. 答案:C,1,2,3,4,4.若ab0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是 . 解析:因为ab0,所以a2b20,于是顺序和为aa2+bb2=a3+b3,逆序和为a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3a2b+ab2. 答案:a3+b3a2b+ab2,
