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1、2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面,目标定位 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.了解平面的基本性质，即公理1，2，3.3.会进行“文字语言”“符号语言”“图形语言”之间的转化.4.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类与表示.,1.平面的概念,自 主 预 习,(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是_的. (2)平面的画法 水平放置的平面通常画成一个_，它的锐角通常画成_，且横边长等于其邻边长的_，如图.,无限延展,平行四边形,45,2倍,如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被
2、遮挡部分用_画出来.如图.,虚线,(3)平面的表示法 图的平面可表示为_，平面ABCD，_或平面BD.,平面,平面AC,2.点、线、面之间的关系,(1)直线在平面内的概念： 如果直线l上的_都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.,所有点,(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：,Al,Al,A,A,l,l,3.平面的基本性质及作用,两点,有且只有,过该点,的公共直线,即 时 自 测,1.判断题,(1)A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合.( ) (2)梯形一定是平面图形.( ) (3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或8部分.( ) (4)空间中有四个点，如果其
3、中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面有四个.( ),提示 (3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或7部分或8部分. (4)当这四个点共面时，只有一个平面；当这四个点不共面时，有四个平面.,2.下列图形中，不一定是平面图形的是( ),A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形,解析 三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形.,答案 D,3.用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面外”，正确的表示是( ),A.Al，l B.Al，l C.Al，l D.Al，l,解析 点与直
4、线、点与平面之间的关系是元素与集合之间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系，故选B.,答案 B,4.两两平行的三条直线最多可以确定_个平面.,解析 如图此时确定的平面个数最多.,答案 3,类型一 三种语言的转换 【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形.,(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.,解 (1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图.,(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示如图.,
5、规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.,【训练1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.,解 (1)点A在平面内，点B不在平面内，如图. (2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图. (3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图.,类型二 点线共面问题(互动探究) 【例2】 证明：两两
6、相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.,思路探究 探究点一 确定平面的基本条件有哪些？,提示 确定平面的基本条件有4个：不在同一直线上的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线及直线外一点.,探究点二 纳入法证明点、线共面的思路是什么？,提示 先由公理2确定一个平面，再由公理1证明有关点、线在此平面内.,证明 法一 (纳入法) l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，Bl2.又l2， B. 同理可证C. 又Bl3，Cl3，l3. 直线l1、l2、l3在同一平面内.,法二 (重合法) l1l2A，l1、l2确定一个平面. l2l3B， l2、l3确定一个平面. Al2，l2，A. Al
7、2，l2，A. 同理可证B，B，C，C. 不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内. 平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.,规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.,【训练2】 已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.,证明 如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，
8、l有且只有一个平面.,类型三 点共线与线共点问题 【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.,证明 MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF， 又M直线CD，N直线AB， CD平面ABCD，AB平面ABCD. M、N平面ABCD， MN平面ABCD.Q平面ABCD. 同理，可得EF平面ADD1A1. Q平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1AD， Q直线AD，即D、A、Q三点共线.,规律方法 点共线与线共点的证明方法： (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面
9、交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在 相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.,课堂小结 1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号
10、语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚. 2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.,1.下列命题中正确的个数是( ),一个平面长4米，宽2米； 2个平面重叠在一起比一个平面厚； 一个平面的面积是25平方米； 将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面. A.0 B.1 C.2 D.3,解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对.,答案 A,2.若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作( ),A.Qb B.Qb C.Qb D.Qb,解析 点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.,答案 B,3.设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.,解析 l，ABlC，C，CAB，ABC.,答案 C,4.用文字语言和符号语言表示图.,解 文字语言：平面内的两直线m和n相交于点A.符号语言：m，n，且mnA.,
