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1、2.2221椭圆及其标准方程预习课本P3842，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2椭圆的标准方程是什么？1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点睛定义中的条件2a|F1F2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b21判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1
2、)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为圆()(3)方程1(a0，b0)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)2若椭圆1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A1B2C4 D6答案：C3椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)求椭圆的标准方程典例求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a
3、b0)将点(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标
4、准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(，)在椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1椭圆的定义及其应用典例如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF
5、1F2120，求PF1F2的面积解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|将代入解得|PF1|所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF
6、2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解活学活用设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|2则PF1F2是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形解析：选B由椭圆的定义得|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，故PF1F2为直角三角形与椭圆有关的轨迹问题典例(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C求C的方程解析(1)设P(xP，yP)，Q(x，
7、y)，由中点坐标公式得所以又点P在椭圆1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由
8、另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法活学活用求过点P(3,0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为C1(3，0)，半径为R10设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10又P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|60，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义若
9、P点轨迹是椭圆，则|PA|PB|2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2ab”是“方程1表示椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分条件又不必要条件解析：选A若ab，则a2b2，方程1表示椭圆，是充分条件，若方程1表示椭圆，得不到ab，不是必要条件5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1
10、解析：选B由已知2c|F1F2|2，c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2b2a2c29故椭圆C的标准方程是1或16椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1法二：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去
11、)，从而a216所以椭圆C的标准方程为1答案：18椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3又c4，a2b2c225椭圆的标准方程为1答案：19设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标解：由点在椭圆上，得1，又2a4，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)10已知椭圆C与椭圆x237y237的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若PC，且F1PF2，求F1PF2的面积解：(1)因为椭圆y21的焦点坐标为(6,0)，(6,0)所以设椭圆C的标准方程为1(a236)将点的坐标代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以椭圆C的标准方程为1(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2
