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1、2.2预习课本P9295，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示点睛数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中
2、，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(3)利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案：(1)(2)(3)2如果命题p(n)对
3、所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n_成立答案：23已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推测，当n2时，有_答案：f(2n)用数学归纳法证明等式典例用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，成立(2)假设当nk(nN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由(1)(2)可得对于任意的nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与
4、归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形活学活用求证：1(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边，左边右边(2)假设nk(kN*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立.用数学归纳法证明不等式典例已知nN*，n2，求证：1 .证明(1)当n3时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*，k3)时，不等式成立，即1.当nk1时，1 .因为 ，所以1 .所以当nk1时，不等式也成立由(1)，(2)知对一切nN*，n2，不等式恒成立一题多变1变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：(n2，nN*)，
5、如何证明？证明：(1)当n2时，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立即.则当nk1时，3.所以当nk1时，不等式也成立由(1)，(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立2变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：(n2，nN*)，如何证明？证明：(1)当n2时，左边1，右边.左边右边，所以原不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，左边.所以，当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，对一切n2，nN*不等式都成立用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明
6、不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等 归纳猜想证明典例考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的
7、猜想吗？解由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n1时，显然成立；(2)假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时等式成立根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立(1)“归纳猜想证明”的一般环节(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n
8、项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题活学活用数列an中，a11，a2，且an1(n2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明解：a2，且an1(n2)，a3，a4.猜想：an(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确(1)当n1,2易知猜想正确(2)假设当nk(k2，kN*)时猜想正确，即ak.当nk1时，ak1nk1时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意nN*都正确层级一学业水平达标1设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSk DSk解析：选C因式子右边各分数的分母是连续
9、正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.2利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选D当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1时，最后一项为，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项3一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk 时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析：选B由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又n2时命题成立，
10、根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：选D在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，故选D.5设f(n)5n23n11(nN*)，若f(n)能被m(mN*)整除，则m的最大值为()A2 B4C8 D16解析：选Cf(1)8，f(2)32，f(3)144818，猜想m的最大值为8.6用数学归纳法证明
11、“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,2951293，n0最小应为10.答案：107用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案：8对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：59已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明解：(
12、1)a23，a37，a415，a531.(2)归纳猜想出通项公式an2n1，当n1时，a11211，成立假设nk时成立，即ak2k1，则当nk1时，由an12an1(nN*)，得：ak12ak12(2k1)12k1212k11，所以nk1时也成立；综合，对nN*等式都成立，从而得证10用数学归纳法证明11n(nN*)证明：(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立层级二应试能力达标1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(
