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1、第1章,集合与函数,1.2 函数的概念和性质 1.2.8 二次函数的图象和性质 对称性,学习目标 1.能说出奇函数和偶函数的定义. 2.会判断具体函数的奇偶性. 3.会分析二次函数图象的对称性. 4.能求一个二次函数在闭区间上的最值.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 函数yx的图象关于 对称，yx2的图象关于_对称.,原点,y轴,预习导引 1.函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)为偶函数； (2)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)
2、为奇函数.,F(x),F(x)F(x),F(x),F(x)F(x),2.二次函数图象的对称性,(2)如果函数f(x)对任意的h都有 ，那么f(x)的图象关于直线xs对称.,f(sh)f(sh),要点一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x3x； 解 函数定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3x (x3x)f(x)，所以该函数是奇函数； (2)f(x)|x2|x2|； 解 函数定义域为R，且f(x)|x2|x2| |x2|x2|f(x)，所以该函数是偶函数；,解 函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；,解 函数定义域是x|x1，不关于原点对称，
3、因此它是非奇非偶函数；,解得x2，即函数的定义域是2，2，这时f(x)0. 所以f(x)f(x)，f(x)f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数.,规律方法 1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.,(3)还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、
4、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域) 2.判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果.,跟踪演练1 判断下列函数的奇偶性：,解 函数定义域为R，,故该函数是奇函数；,解 函数定义域为x|x1，关于原点对称，,故f(x)是偶函数.,解 函数定义域是x|x1，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数.,要点二 函数奇偶性的简单应用 例2 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，
5、当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于( ) A.3 B.1 C.1 D.3 解析 因为当x0时，f(x)2x2x， 所以f(1)2(1)2(1)3. 又f(x)是奇函数， 所以f(1)f(1)3，选A.,A,(2)若函数f(x)x33xa是奇函数，则实数a_. 解析 方法一 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)f(x)对任意xR都成立， 即x33xax33xa对任意xR都成立. 所以a0. 方法二 因为f(x)是奇函数且在x0处有定义. 必有f(0)0，即0330a0，解得a0.,0,规律方法 1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求
6、值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化. 2.已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0处有定义的奇函数，还可根据f(0)0求解.,跟踪演练2 (1)已知f(x)是偶函数，且f(4)5，那么f(4)f(4)的值为( ) A.5 B.10 C.8 D.不确定 解析 f(x)是偶函数， f(4)f(4)f(4)f(4)2f(4)2510.,B,(2)若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于( ) A.2 B.1 C.1 D.2 解析 f(x)是偶函数，
7、f(x)f(x)对任意xR都成立， 即(x1)(xa)(x1)(xa). 整理得2(a1)x0， xR，必有a10，即a1.,C,要点三 二次函数的区间最值问题 例3 已知函数f(x)x22ax2，x5,5. 用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值. 解 函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，对称轴为xa. 当a5，即a5时，函数在区间5,5上递增，所以f(x)maxf(5)2710a， f(x)minf(5)2710a；,当5a0，即0a5时，函数图象如图(1)所示. 由图象可得f(x)minf(a)2a2， f(x)maxf(5)2710a；,当0a5，即5a0时，函
8、数图象如图(2)所示， 由图象可得f(x)maxf(5)2710a， f(x)minf(a)2a2； 当a5，即a5时， 函数在区间5,5上递减， 所以f(x)minf(5)2710a， f(x)maxf(5)2710a.,规律方法 1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解. 2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论： (1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； (2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.,跟踪演练3 求函数f(x)
9、x2mx6(m0)在区间0,2上的最大值.,1,2,3,4,1.下列函数为奇函数的是( ) A.y|x| B.y3x C.y D.yx24,解析 A项和D项中的函数为偶函数， B项中的函数是非奇非偶函数，选C.,C,5,1,2,3,4,2.对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断： (1)若f(2)f(2)，则函数f(x)是偶函数； (2)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数； (3)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是奇函数. 其中正确的判断的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,5,1,2,3,4,解析 (1)仅有f(2)f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶
10、函数定义中的“任意”，故(1)错误； (2)当f(2)f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确； (3)若f(2)f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数.如若f(x)0，xR，则f(2)f(2)，但函数f(x)0，xR既是奇函数又是偶函数，故(3)错误. 答案 B,5,1,2,3,4,A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数 D.是非奇非偶函数 解析 函数定义域是x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.,D,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,故选C. 答案 C,5,1,2,3,5,4,5.如果定义在区间3a,5上的函数f(x)为偶函数，那么a_. 解析 f(x)为区间3a,5上的偶函数， 区间3a,5关于坐标原点对称， 3a5，即a8.,8,课堂小结 1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件. 2.解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断.,3.奇函数f(x)若在x0处有意义，则必有f(0)0. 4.奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性. 5.抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x ，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式b24ac确定.,
