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1、第三章 三角恒等变换1三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例1已知cos，求cos的值.分析将看作一个整体，观察与的关系.解，.coscoscos，即cos.二、利用目标中的角表示条件中的角例2设为第四象限角，若，则tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到中，首先求出cos 2
2、的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2.解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2.cos 2.为第四象限角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3已知sin，0x，求的值.分析转化为已知角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数.解原式2sin2cos，sin，且0x0，sin0，故原式 sin.点评一般地，在化简求值时，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常常
3、化为平方式：2cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、灵活变角例3 已知sin()，则cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“”表示待求角“2”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan ，则的值是_.解析3.答案3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin 和cos 的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5 求cos cos cos cos cos 的
4、值.解原式cos cos cos cos cos .点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3聚焦三角函数最值的求解策略一、化为yAsin(x)B的形式求解例1求函数f(x)的最值.解原函数变形得f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函数ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解原函数化简得ysin 2xcos 2x2sin2.当2x2k，kZ，即xk，kZ时，ymin2.此时x的集合为x|xk，kZ.点评形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成yA
5、sin(2x)B的形式求最值.二、利用正、余弦函数的有界性求解例3求函数y的值域.解原函数整理得sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.函数的值域为y|y或y3.例4求函数y的值域.解原函数整理得sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得y.点评对于形如y或y的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5设关于x的函数ycos 2x2acos x2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.当1，即a1，
6、即a2时，f(a)ymin14a，此时cos x1.综上所述，f(a)点评形如yasin2xbsin xc的三角函数可转化为二次函数yat2btc在区间1，1上的最值问题解决.例6试求函数ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解设sin xcos xt，t， ，则2sin xcos xt21，原函数变为yt2t1，t， ，当t时，ymin；当t时，ymax3.点评一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin xcos xt，则sin xcos x(t21)；sin
7、 xcos xt，则sin xcos x(1t2).四、利用函数的单调性求解例7求函数y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，则t1，3，yt.利用函数单调性的定义易证函数yt在1，3上为增函数.故当t1，即sin x1时，ymin0；当t3，即sin x1时，ymax.例8在RtABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设ABa，ABC，ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .设正方形的边长为x，AGxcos ，BC.BC边上的高hasin ，即，x，Qx2.从而1.易知函数y在区间(0，1上单调递减，从而，当sin 21时，m
8、in.点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4行百里者半九十三角恒等变换一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1已知sin ，sin ，和都是锐角，求的值.错解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因为，则(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是锐角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos()的值.正解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所
9、以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因为，所以(0，)，所以.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值.错解由题意知tan 、tan 是方程x26x70的两根，由根与系数的关系，得tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0，角、都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解由易知tan 0，tan 0.、(0，)，0，得B，且sin B.由sin A，得cos A，当cos A时，cos A.sin B，B，B.故当cos A时，AB，与A、B是ABC的内角矛盾.cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和AB
