《（全国通用）2018届高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.3 抛物线及其性质课件(理) 新人教b版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2018届高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.3 抛物线及其性质课件(理) 新人教b版（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.3 抛物线及其性质,高考理数,1.抛物线的定义 到一定点F和定直线l(Fl) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线. 注意:到一定点F和定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于l的直线. 2.抛物线的标准方程 (1)焦点在x轴上的统一方程:y2=mx(m0);焦点在y轴上的统一方程:x2=ny(n0),简记:对称轴看一 次项,符号决定开口方向. (2)标准方程的求法:定义法和待定系数法.,知识清单,【知识拓展】,1.如图所示,AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦(焦点弦),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB
2、的中点M(x0, y0),过A,M,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,E,D,则根据抛物线的定义有|AF|=|AC|,|BF |=|BD|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|.又ME是梯形ABDC的中位线,所以|AB|=|AC|+|BD|=2|ME|.故有 下列结论: (1)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切;以CD为直径的圆切AB于点F;以AF(或BF)为直,径的圆与y轴相切;AEB=90;CFD=90等. (2)|AB|=x1+x2+p. (3)若直线AB的倾斜角为,则|AF|= ,|BF|= ,|AB|= ,SAOB= . (4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之
3、积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2. (5) + = 为定值. (6)A,O,D共线,B,O,C共线.,2.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p0)的任意一条焦点弦,分别过A,B作抛物线的切线,交于点P,则: (1)P的轨迹为准线y=- . (2)PAPB. (3)PFAB. (4)xP= .,抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,涉及抛 物线的焦半径、焦点弦的问题,可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到 准线的距离,即|PF|=|x|+ 或|PF|=|y|+ ,使问题简化.反之,点到准线的距离也可转化为点到焦点 的距离. 例1
4、 (2012四川,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点 M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= ( ) A.2 B.2 C.4 D.2 解析 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0). 由|MF|= +2=3得p=2,抛物线方程为y2=4x. 点M的坐标为(2,2 ),|OM|= =2 , 故选B. 答案 B,突破方法,方法1 抛物线定义的应用,1-1 设P是曲线y2=4x上的一个动点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 解析,(1)如图,易知
5、抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于 点P到F的距离.于是,问题转化为求点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小 值.A、P、F三点共线时取得最小值.连结AF交曲线于点P,故最小值为|AF|= = . (2)如图,过B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于P1,此时,|P1Q|=|P1F|, 那么|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|= 4,即|PB|+|PF|的最小值为4.,在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标 原点,以经过点F且垂直于直线l的直线为x(或y)轴建立坐
6、标系,可以得到抛物线的四种不同形式 的标准方程:y2=2px,x2=2py,其中p0. 求抛物线标准方程的一般步骤: (1)判断焦点位置; (2)设标准方程为y2=mx或x2=ny(m,n0); (3)求出参数m(n). 例2 (2013课标全国,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为 直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析 以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+ =5得M .,方法2
7、抛物线的标准方程,从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 ,点N的横坐标恰好等于圆的半径, 圆与y轴切于点(0,2),从而2= ,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4 x或y2=16x.故选C. 答案 C 2-1 如图,已知抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,直线AB交抛物线C于A、B两点,交x轴 正半轴于点M(m,0),A、B到x轴的距离之积为2m.求抛物线C的方程. 解析 由题意设抛物线方程为y2=2px(p0). 当直线AB的斜率不存在时,ABx轴,由A、B两点到x轴的距离之积是2m,得A、B两点的坐标分,别为(m, )、(m,- ). 将A点坐标代入y2
8、=2px,得2m=2pm,p=1. 抛物线C的方程为y2=2x. 当直线AB的斜率存在时,设为k, 则直线AB的方程为y=k(x-m), 由 消去x,整理得 y2-y-km=0. y1+y2= ,y1y2=-2mp. 由已知得|y1y2|=2m,则y1y2=-2m,-2mp=-2m,p=1. 抛物线方程为y2=2x. 综上,抛物线C的方程为y2=2x.,设抛物线方程为y2=2px(p0),其焦点为F,过F的直线交抛物线于点A,B,如图. 设|AF|=m,|BF|=n,利用结论: 可解出m,n, 从而可解决相关问题. 例3 (2015陕西一模,10)已知直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=
9、2px(p0)的焦点,l与C交于A、B两 点.若|AB|=6,则p的值为 ( ),方法3 焦点弦的有关问题,A. B. C.1 D.2 解析 由 得x2-(2m+2p)x+m2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m+2p. 又直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点 , -0-m=0,解得m= . 又|AB|= + =x1+x2+p=2m+3p=4p=6, p= ,故选B. 答案 B,(1)|AB|=x1+x2+p; (2)x1x2= ,y1y2=-p2; (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (4) + = .,3-1 如图,AB为过抛物
10、线y2=2px(p0)的焦点F的弦,点A,B在抛物线准线上的射影为A1, B1,且A(x1,y1),B(x2,y2).求证:,过抛物线x2=2py上两点A ,B 作两条切线l1,l2,l1与l2的交点M的求法如下: 由y= ,得y= ,k1= ,k2= . l1:y- = (x-x1), l2:y- = (x-x2). 由得M . 例4 (2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1 的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1- 时,切线MA的斜率为- . (1)求p的值; (2)当M
11、在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).,方法4 抛物线的切线问题,解析 (1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y= ,且切线MA的斜率为- ,所以A 点坐标为 ,故切线MA的方程为y=- (x+1)+ . 因为点M(1- ,y0)在切线MA及抛物线C2上, 所以y0=- (2- )+ =- , 且y0=- =- . 由得p=2. (6分),(2)设N(x,y),A ,B ,x1x2, 由N为线段AB的中点知x= , y= . 切线MA,MB的方程分别为 y= (x-x1)+ , y= (x-x2)+ . 由得MA,MB的交点M(x0
12、,y0)的坐标为x0= ,y0= . 因为点M(x0,y0)在C2上,即 =-4y0,所以x1x2=- . 由得x2= y,x0. 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2= y. 因此线段AB的中点N的轨迹方程为x2= y. (12分),4-1 已知抛物线方程为x2=2py(p0),焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.分别过A,B两点 作抛物线的切线l1,l2,两切线相交于点M. (1)求证:l1l2; (2)求证:点M在抛物线的准线上. 解析 (1)设过F的直线为y- =kx. 由 得x2-2pkx-p2=0,x1x2=-p2. y= 在任意一点(x,y)处的切线斜率为y= , k1k2= = =-1,l1l2. (2)设A ,B . 则切线MA,MB的方程分别为 y= (x-x1)+ , ,y= (x-x2)+ . 由得 点M在抛物线的准线上.,
