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1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)=_.(2)曲面在点的法线方程为_.(3)微分方程的通解为_.(4)已知方程组无解,则= _.(5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,有(A)(B)(C)(D)(2)设为在第一卦限中的部分,则有(A)(B)(C)(D)(3)设级数收敛,则必收敛的
2、级数为(A) (B) (C)(D) (4)设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为(A)向量组可由向量组线性表示 (B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价 (D)矩阵与矩阵等价(5)设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与 不相关的充分必要条件为(A)(B)(C)(D) 三、(本题满分6分)求 四、(本题满分5分)设,其中具有二阶连续偏导数具有二阶连续导数,求 五、(本题满分6分)计算曲线积分,其中是以点为中心为半径的圆周取逆时针方向. 六、(本题满分7分)设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数在内具有连续的一阶导数,且求. 七、(本题满分6分)求
3、幂级数的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 八、(本题满分7分)设有一半径为的球体是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数),求球体的重心位置. 九、(本题满分6分)设函数在上连续,且试证:在内至少存在两个不同的点使 十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求矩阵. 十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量(1)求与的关系式并
4、写成矩阵形式:(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当时,求 十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为,求的数学期望和方差. 十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命的概率密度为,其中为未知参数.又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_.(2),则= _.(3)
5、交换二次积分的积分次序:_.(4)设,则= _.(5),则根据车贝晓夫不等式有估计 _. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则的图形为(A) (B) (C) (D)(2)设在点的附近有定义,且则(A)(B)曲面在处的法向量为(C)曲线 在处的切向量为(D)曲线 在处的切向量为(3)设则在=0处可导(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在(4)设,则与(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷
6、次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数, 则和相关系数为 (A) -1(B)0 (C)(D)1三、(本题满分6分)求. 四、(本题满分6分)设函数在点可微,且,求. 五、(本题满分8分) 设 ,将展开成的幂级数,并求的和. 六、(本题满分7分)计算,其中是平面 与柱面的交线,从轴正向看去为逆时针方向. 七、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且.证明:(1)对于,存在惟一的,使 =+成立.(2). 八、(本题满分8分)设有一高度为为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需
7、多少时间? 九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系, ,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系? 十、(本题满分8分)已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使.(2)计算行列式.十一、(本题满分7分)某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率.(2)二维随机变量的概率分布. 十二、(本题满分7分)设抽取简单随机样本样本均值,求2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中
8、横线上)(1)= _.(2)已知,则=_.(3)满足初始条件的特解是_.(4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_.(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5,则=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数的四条性质:在点处连续, 在点处的一阶偏导数连续,在点处可微, 在点处的一阶偏导数存在.则有:(A)(B)(C)(D)(2)设,且,则级数为(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.(3)设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有 (B)当存在时,必有
9、(C) 当时,必有 (D) 当存在时,必有.(4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则(A)必为密度函数 (B) 必为密度函数(C)必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,当时,若,试求的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.五、(本题满分7分)计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在上具有一阶连续导数,是上
10、半平面(0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为().记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()满足微分方程.(2)求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为,写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无
11、关,.若,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1) = .(2)曲面与平面平行的切平面的方程是 .(3)设,则= .(4)从的基到基的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量的概率密度为 ,则 .(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的
12、置信区间是 .(注:标准正态分布函数值二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设均为非负数列,且,则必有(A)对任意成立 (B)对任意成立(C)极限不存在 (D)极限不存在(3)已知函数在点的某个邻域内连续,且,则(A)点不是的极值点(B)点是的极大值点(C)点是的极小值点(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点(4)
13、设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II必线性相关 (B)当时,向量组II必线性相关(C)当时,向量组I必线性相关 (D)当时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题: 若的解均是的解,则秩秩 若秩秩,则的解均是的解 若与同解,则秩秩 若秩秩, 则与同解以上命题中正确的是(A)(B)(C)(D)(6)设随机变量,则(A)(B)(C)(D) 三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.(1)求的面积.(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.四、(本题满分12分)将函数展开成的幂级数,并求级数的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域,为的正向边界.试证:(1).
