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1、3.2 古典概型,3.2.1 古典概型,一、基本事件 【问题思考】 1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,有哪几种可能的结果?连续抛掷三次呢? 提示(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4种;(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种. 2.上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中,任何两个基本事件是什么关系? 提示因为任何两种结果都不可能同时发生,所以它们是互斥关系.,3.填空:基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件
2、)都可以表示成基本事件的和. 4.做一做1:连续抛掷两枚质地均匀的硬币,观察落地后的正、反面情况,则这个试验的基本事件有 ,出现一正一反的事件所包含的基本事件有 . 答案:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反) (正,反),(反,正),二、古典概型 【问题思考】 1.抛掷一枚质地均匀的硬币,每个基本事件出现的可能性相等吗? 提示基本事件有两个,即“正面朝上”和“正面朝下”,由于质地均匀,因此基本事件出现的可能性是相等的. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子,有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗? 提示这个试验的基本事件有6个,即朝上的面出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“
3、6点”,由于质地均匀,因此基本事件出现的可能性是相等的.,3.上述试验的共同特点是什么? 提示(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.填空:古典概型的特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.,三、古典概型概率公式 【问题思考】 1.在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中,怎样求正面朝上及反面朝上的概率?连续抛掷两次,恰好一次正面朝上的概率又如何求? 提示在一次抛掷质地均匀的硬币试验中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P(“正面朝上
4、”)=P(“反面朝上”).由概率的加法公式,得P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1,因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)= . 在连续抛掷两次试验中,P(“恰好一次正面朝上”)=P(“第一次正面朝上,第二次反面朝上”)+P(“第一次反面朝上,第二次正面朝上”),2.在抛掷骰子的试验中,如何求出现各个点的概率?出现偶数点的概率又怎么求? 提示出现各个点的概率相等,即P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”).反复利用概率的加法公式,我们有P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”)+P(“5点”)+
5、P(“6点”)=P(必然事件)=1,所以P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)= .,4.做一做2:从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( ),答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)任何两个基本事件是互斥的.( ) (2)任何事件都可以表示成基本事件的和.( ) (3)古典概型中,试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.( ) (4)古典概型中每个基本事件出现的可能性相等.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 将一枚骰子
6、先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则: (1)一共有几个基本事件? (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件? 分析先列出所有的基本事件,再确定个数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:解法一: (1)用(x,y)表示结果,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的所有结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)
7、,(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 共36个基本事件. (2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解法二:如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,基本事件与所描点一一对应. (1)由图知,基本事件的总数为36. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出).,探究
8、一,探究二,探究三,思维辨析,解法三:一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示. (1)由图知,共36个基本事件. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“”标出).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.在列出基本事件时,应先确定基本事件是否与顺序有关.写基本事件时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写. 2.求基本事件总数的常用方法 (1)列举法:适合于较简单的问题. (2)列表法:适合求较复杂问题中的基本事件数. (3)树形图法:适合较复杂问题中基本事件的探求.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1一个口袋内装有大小相同的5个球,其中2个白
9、球,3个黑球,写出按下列要求的基本事件. (1)一次摸两个; (2)先摸一个不放回,再摸一个; (3)先摸一个放回后,再摸一个. 解:2个白球分别记为A,B,3个黑球分别记为a,b,c. (1)列举法: 基本事件有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)树形图法: 基本事件有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,A),(B,a),(B,b),(B,c),(a,A),(a,B),(a,b),(a,c),(b,A),(b,B),(b,a),(b,c),
10、(c,A),(c,B),(c,a),(c,b),共20个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球. 分析任取两球列举任取两球的情况分析A,B的情况求概率,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:设4个白球的编号为1,2,3,4;2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取两个的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),
11、(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个. (1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的情况,即是从4个白球中任取两个的情况,共有6种,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). (2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个为红球,而另一个为白球,其取法包括:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求解古典概型“四步法”,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,
12、3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y). (1)求所得两球的和为6的概率; (2)求所得两球的和是3的倍数的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:列出所有的基本事件,共25个,如图所示. (1)由图可直观地看出“所得两球的和为6”包含5个基本事件:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故所求概率为 (2)“两球的和为3的倍数”包含(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4)共9个基本事件,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】现有7名数理化成绩优
13、秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求C1被选中的概率; (2)求A1和B1不全被选中的概率. 分析找出基本事件总数n和事件A发生的基本事件数m,用公式求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的12个基本事件为(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2)
14、,(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决古典概型问题的基本方法是列举法,但对于较复杂的古典概型问题,可采用转化的方法:一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和;二是对含有“至多”“至少”等类型的问题,在直接求解比较困难或比较烦琐时,可通过求对立事件的概率求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球. (1)写出所有不同的结果; (2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率; (3)求至少摸出1个黑球
15、的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,弄错基本事件而致误 【典例】 任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率. 错解任意投掷两枚骰子,点数之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共有11个基本事件,设出现的点数之和为奇数的事件为A,则事件A 以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范? 错因分析出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件,如“点数之和为2”只出现一次,即(1,1);“点数之和为3”则出现两次,即(2,1),(1,2),因此以点数之和为基本事件不属于古典概型,不能应用古典概型概率公
16、式计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解任意投掷两枚骰子,可看成等可能事件,其结果即基本事件可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,6),其中两个数i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共有36个基本事件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,设“出现的点数之和为奇数”为事件A,则包含(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(
