《2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词课件新人教a版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词课件新人教a版选修（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词,主题1 全称量词和全称命题 1.观察下列语句,它们是命题吗? (1)x6. (2)2x是偶数.,(3)对任意的xR,x6. (4)对所有的xZ,2x都是偶数. 提示:语句(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.,2.以上四个语句(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 提示:(3)在语句(1)的基础上增加了短语“任意的xR”对变量x进行限制;语句(4)在语句(2)的基础上增加了短语“所有的xZ”对变量x进行限制.,结论: 1.全称量词的定义: 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 _,并用符号“_”表示.,全
2、称量词,2.全称命题的定义: 含有_的命题叫做全称命题,全称命题“对M中 任意一个x,有p(x)成立”,用符号表示为:_.,全称量词,xM,p(x),【微思考】 1.在全称命题中,量词是否可以省略? 提示:在有些全称命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.,2.一个全称命题的表述是否唯一? 提示:不唯一.对于一个全称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.,主题2 存在量词和特称命题 1.观察下列语句,它们是命题吗? (1)x6. (2)2x是偶数. (3)至少有一个x0R,使x06. (4)存在
3、x0Z,使2x0是偶数. 提示:(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.,2.以上四个语句,(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“存在一个”对变量的取值进行限制.,结论: 1.存在量词的定义: 短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做 _,用符号“_”表示.,存在量词,2.特称命题的定义: 含有_的命题,叫做特称命题,特称命题 “存在M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号表示为 _.,存在量词,x0M,p(x0),【微思考】 怎样区别全称命题和特称命题? 提示:全称命题
4、含有或隐含全称量词,体现了任意、所有的意思,特称命题含有或隐含存在量词,体现了特殊存在性.,【预习自测】 1.下列命题中全称命题的个数为 ( ) 平行四边形的对角线互相平分;梯形有两边平行;存在一个菱形,它的四条边不相等. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选C.是全称命题,是特称命题.,2.下列语句不是全称命题的是 ( ) A.模相等的向量是相等向量 B.共线向量所在直线共线 C.在平面向量中,有些向量是共线向量 D.每一个向量都有大小,【解析】选C.选项A,B,D都是全称命题,选项C中含有量词“有些”是特称命题.,3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( ) A.存在一
5、个,使tan(90-)=tan B.存在实数x0,使sinx0= C.对一切,sin(180-)=sin D.sin(-)=sincos-cossin,【解析】选A.C,D是全称命题,A,B是特称命题, 由于|sinx|1,故sinx0= 1不成立,B为假命题,对于A,当=45时,tan(90-)=tan成立.,4.对任意x3,xa恒成立,则实数a的取值范围是_. 【解析】由题意知(3,+) (a,+),所以a3. 答案:a3,类型一 全称命题与特称命题的判断 【典例1】(1)下列语句不是特称命题的是 ( ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意xZ,2x
6、+1是奇数 D.存在x0R,2x0+1是奇数,(2)给出下列几个命题: 至少有一个x0,使x02+2x0+1=0成立; 对任意的x,都有x2+2x+1=0成立; 对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立; 存在x0,使x02+2x0+1=0成立. 其中是全称命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,【解题指南】先根据命题的概念判断其是否为命题,再看是含全称量词还是含存在量词,然后进行判断.,【解析】(1)选C.因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题,选项C为全称命题. (2)选B.因为“至少有一个”、“存在”是存在量词,“任意的”为全称量
7、词,所以为特称命题,为全称命题,所以全称命题的个数为2.,【方法总结】判断一个命题是否为全称命题或特称命题的关注点 判断一个命题是否为全称命题或特称命题,就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词,有些命题的量词可能隐含在命题之中,这时要根据命题含义判断形式,如大多数公理、定理的简述都是一般性结论,它们大多数省略了全称量词,但仍应看作全称命题.,【巩固训练】下列命题中是全称命题的个数为 ( ) 凸多边形的外角和为360; 有的向量方向不定; 对任意角,都有sin2+cos2=1; 有一个函数既是奇函数又是偶函数. A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选B.是全称命题,是特称命题.,类型二
8、 全称命题与特称命题真假的判断 【典例2】指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)xN,2x+1是奇数. (2)存在一个x0R,使 (3)对任意向量a,|a|0. (4)有一个角,使sin1.,【解题指南】先判断命题的类型,再判断命题的真假. 【解析】(1)是全称命题.因为xN,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.,(2)是特称命题.因为不存在x0R,使 成立,所以该命题是假命题. (3)是全称命题.因为|0|=0,所以|a|0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)是特称命题.因为R,sin-1,1,所以该命题是假命题.,【方法总结】全称命题与特称命题真假的判断方法
9、(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).,(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题.,【巩固训练】判断下列命题的真假: (1)p:所有的单位向量都相等. (2)p:任一等比数列an的公比q0. (3)p:x0R,x02+2x0+30.,【解析】(1)p是全称命题,是假命题. 若两个单位向量e1,e2方向不相同,虽然有|e1|=|e2|=1, 但e1e2. (2
10、)p是全称命题,是真命题. 根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项 an0,所以其公比q= 0(n=1,2,3,).,(3)p是特称命题,是假命题. 因为对于p:xR,x2+2x+30是真命题,这是因为x2+2x+3=(x+1)2+220恒成立.,【补偿训练】判断下列命题的真假: (1)若a0,且a1,则对任意实数x,ax0. (2)对任意实数x1,x2,若x1x2,则tanx1tanx2. (3)T0R,使|sin(x+T0)|=|sinx|. (4)x0R,2x02+70.,【解析】命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题; 命题(2)是全称命题,存在x1=0,
11、x2=,虽然x1x2,但是tanx1=tanx2,故该命题为假命题;,命题(3)是特称命题,存在T0=,使|sin(x+T0)|=|sinx|,故该命题为真命题; 命题(4)是特称命题,因为对任意的xR,都有2x2+70,故该命题为假命题.,类型三 根据全称命题与特称命题真假求参数的范围 【典例3】命题p:xR,sinxcosxm,若命题p是真命题,求实数m的取值范围.,【解题指南】设函数f(x)=sinxcosx,只需令f(x)的最小值大于或等于m.,【解析】设函数f(x)=sinxcosx,xR, 则f(x)= sin2x,所以函数f(x)的值域是 由于命题p是真命题, 即对任意xR,恒有
12、sinxcosxm成立, 所以对任意xR,恒有f(x)m成立,又函数f(x)的最小值为- , 所以只需m- , 所以实数m的取值范围是,【延伸探究】 1.将命题p改为:x0R,sinx0cosx0m,若命题p是真命题,如何求m的取值范围?,【解析】由于命题p是真命题,即存在一个实数x0,满足sinx0cosx0m成立, 所以存在一个实数x0,满足f(x0)m成立, 由于函数f(x)的最大值为 , 所以m的值不可能大于 ,即m . 所以实数m的取值范围是,2.将命题p改为:xR,9x-3x-m=0,若命题p是假命题,求实数m的取值范围.,【解析】由于p是假命题,所以p是真命题, 即对任意实数x,
13、9x-3x-m=0恒成立. 设3x=t,由于xR,则t(0,+), 则9x-3x-m=0m=(3x)2-3x m=t2-t,t(0,+),设f(t)=t2-t,t(0,+),则f(t)= 当 t= 时,f(t)min=- , 则函数f(t)的值域是 所以实数m的取值范围是,【方法总结】应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型解决策略 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决.,(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在
14、”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.,【补偿训练】已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意xR恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立,求实数m的取值范围.,【解题指南】可考虑用分离参数法,转化为m-f(x)恒成立和存在一个x0,使mf(x0)成立.,【解析】(1)不等式m+f(x)0可化为m-f(x), 即m-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m-(x-1)2-4对于任意xR恒成立,只需m-4即可. 故存在实数m使不等式m+f(x)0对于任意xR恒成立,此时需m-4.,(2)不等式m-f(x)0可化为mf(x).若存在一个实数x0使不等式mf(x0)成立,只需mf(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m4. 所以所求实数m的取值范围是(4,+).,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结,
