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1、1.1 命题,1.命题 (1)定义 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题. (2)分类 判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. (3)形式 一个命题由条件和结论两部分组成.数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是条件,q是结论.,名师点拨1.并不是任何语句都是命题,能够判断真假的语句才是命题. 2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. 3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题. 4.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.,【做
2、一做1】 (1)下列语句不是命题的是( ) A.3是15的约数 B.x2+2x+10 C.4不小于2 D.5能被15整除吗? (2)下列命题中,是真命题的是( ) A.xR|x2+1=0不是空集 B.若x2=1,则x=1 C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0的根是自然数 解析:(1)D是疑问句,不能判断真假,不符合命题的定义,不是命题,其余A,B,C均能够判断真假,均是命题. (2)A中方程在实数范围内无解,故A是假命题;B中若x2=1,则x=1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.所以选D. 答案:(1)D (2)D,2.四种命题及其关系 (1)四种命题及其形
3、式 对“若p,则q”形式的命题中的p和q进行“换位”(即交换位置)或“换质”(即分别否定)后,可以构成其他三种不同形式的命题. 设原命题:若p,则q. 则逆命题:将条件和结论“换位”,即“若q,则p”. 否命题:将条件和结论都“换质”,即分别否定. 逆否命题:将条件和结论“换位”又“换质”,即互换位置,且分别否定.,特别提醒1.一定要分清命题的条件和结论,注意大前提是不能作为条件来对待的,它在四种命题形式中是不变的. 2.一定要注意条件与结论的否定形式,要掌握一些常见关键词的否定. 3.逆命题、否命题和逆否命题都是相对原命题而言的,都是相对的概念.,(2)四种命题间的相互关系 原命题、逆命题、
4、否命题与逆否命题这四种命题间的相互关系如图所示.,一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况: 因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以四种命题的真假性之间的关系是: (a)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (b)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有必然的关系.,【做一做3】 (1)命题“若x21,则x1”的否命题是 命题.(填“真”或“假”) (2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”) (3)命题“若ab,则a2b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”). 答案:(1)假 (2)真 (3)若a2b2,则ab 假命题,思
5、考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)有的命题没有逆命题.( ) (2)含有变量的语句也可能是命题.( ) (3)如果一个语句判断为假,那么它就不是命题.( ) (4)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数一定是偶数.( ) (5)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 下列语句是否为命题?若是,则判断其真假,若不是,则说明理由. (1)x1或x=1; (2)如果x=1,那么x3; (3)方程x2-5x+6=0的根是x=2; (4)x2-
6、5x+6=0; (5)一个实数不是正数就是负数; (6)矩形是平行四边形; (7)把这道题解出来; (8)正方形是平行四边形吗?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析判断一个语句是否为命题,应把握住这个语句能否判断真假.一般来说祈使句、疑问句、感叹句都不是命题;一个命题不是真就是假,二者必居其一,不能模棱两可,不能辨别真假的语句,一定不是命题. 解(1)由于x的值不确定,因此无法作出判断,不是命题. (2)已经明确指定了x的值,是命题,且是假命题. (3)是命题,且是假命题,因为还有一根是x=3. (4)不是命题,因为x的值不确定. (5)是命题,且是假命题,因为0既不是正数也不是负数. (
7、6)是命题,且是真命题. (7)不是命题,因为它是祈使句. (8)不是命题,因为它是疑问句. 反思感悟注意不要把假命题误认为不是命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是,则说明理由. (1)若a,b,c,dR,a=c且b=d,则a+b=c+d. (2)对立事件一定是互斥事件. (3)函数y=cos x的最小正周期是吗? (4)在等比数列an中,若公比q1,则数列an是递增数列. (5)求证:若xR,则x2-x+10. 解(1)是命题,且是真命题.(2)是命题,且是真命题.(3)是疑问句,不是命题.(4)是命题,且是假命题,如数列-1
8、,-2,-4,-8,为递减数列.(5)是祈使句,不是命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 写出下列各个命题的逆命题、否命题及逆否命题. (2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形; (4)当1x2时,x2-3+20; (5)若ab=0,则a=0或b=0. 分析注意分清命题的条件和结论,按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)逆命题:若a,b都是偶数,则a+b是偶数. 否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数. 逆否命题:若a,b不都是偶数,则
9、a+b不是偶数. (3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高. (4)逆命题:若x2-3x+20,则1x2. 否命题:若x1或x2,则x2-3x+20. 逆否命题:若x2-3x+20,则x1或x2. (5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0. 否命题:若ab0,则a0,且b0. 逆否命题:若a0,且b0,则ab0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.给出一个命题,写出其命题的四种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”
10、的形式,则应改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论. 2.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误. 3.要特别注意对一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则集合x|ax2+bx+c0”的逆命题、否命题、逆否命题. 解逆命题:若集合x|ax2+bx+c0,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下. 否命题:若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则集合x|ax2+bx+
11、c0=. 逆否命题:若集合x|ax2+bx+c0=,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向上.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】 判断下列各个命题的真假: (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题; (4)若a0或b0,则a+b0. 分析可以先根据要求写出每个命题,再判断真假.也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价关系进行判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)(方法一)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y0,则x,y不互为相反数”,是真命题. (方法二)“若
12、x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题. (2)(方法一)“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题. (方法二)“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(3)(方法一)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题. (方法二)因为命题“直
13、角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,所以“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是真命题. (4)(方法一)取a=4,b=-6,满足a0或b0,但这时a+b0不成立,故原命题是假命题. (方法二)命题“若a0或b0,则a+b0”的逆否命题是“若a+b0,则a0,且b0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法: (1)分清该命题的条件与结论,直接根据我们已学过的定义、定理、公理、法则、公式、事实等判断其真假,也可通过反例判断其真假.将命题改写成“若p,则q”的形式后,
14、判断此命题真假的方法如下: 若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则q”为假时,只需举一个反例说明即可. 从集合的观点看,我们建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种特殊联系:设集合A=x|p(x)成立,B=x|q(x)成立,就是说,A是能使条件p(x)成立的对象x所构成的集合,B是能使条件q(x)成立的对象x所构成的集合,此时,“若p,则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”),当且仅当AB时满足. (2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常是通过判断其
15、逆否命题的真假来实现.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3(1)命题“个位数字为5的整数能被5整除”是 命题,它的逆命题是 命题.(填“真”或“假”) (2)命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b0有非空解集,则a2-4b0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. (1)解析:显然原命题为真命题;而当一个整数能被5整除时,其末尾数字不一定为5,也可以为0,故逆命题是假命题. 答案:真 假 (2)解逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则x2+ax+b0有非空解集. 否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b0没有非空解集,则a2-4b0. 逆否命题:已知a
16、,b为实数,若a2-4b0,则x2+ax+b0没有非空解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因知识欠缺导致对命题真假判断失误 【典例】 判断下列命题的真假. (2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的根. 易错分析(1)误认为两数比较大小时,大数的倒数反而小,而忽视a,b的条件,当a0,bb,但 (2)因为方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1或x=2,解题时误认为x=1不全面,而没有分清逻辑关系. 解(1)假命题.(2)真命题. 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练判断下列命题的真假并说明理由. (1)合数一定是偶数; (2)若ab0,且a+b0,则a0且b0; (3)若m ,则方程mx2-x+1=0无实根. 解(1)假命题.例如9是合数,但不是偶数. (2)真命题.因为ab0,
