2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课件新人教a版必修(2)

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1、第一章 三角函数,1.1 任意角和弧度制,1.1.1 任意角,一,二,三,一、角的概念 【问题思考】 1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么? 提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0360. (2)跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大的角度?怎样度量这些角呢? 提示:须将角的概念进行推广.,一,二,三,2.填空:(1)角的概念:平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类 3.做一做:从中午12点到下午3点,时针走过的角度是 . 答案:-90,一,二,三,二

2、、象限角 【问题思考】 1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,那么如何区分不同大小、不同范围的角呢? 提示:固定其顶点和始边的位置,根据其终边的位置来确定角的大小与范围. 2.填空:象限角的定义 (1)前提: 角的顶点与原点重合; 角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角; 角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.,一,二,三,3.做一做:在平面直角坐标系中,指出下列各角分别是第几象限角. (1)30; (2)120; (3)-60; (4)225. 答案:(1)第一象限角;(2)第二象限角;(3)第四象限角;(4)第三象限角.,一,二,

3、三,三、终边相同的角 【问题思考】 1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度? 提示:终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍. 2.填空:一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合:S=|=+k360,kZ,即任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与周角的整数倍的和. 3.做一做:与-40角终边相同的角的集合是( ) A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZ C.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ 答案:A,一,二,三,4.终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴

4、、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ; 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ; 终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ; 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ; 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ; 终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ; 终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)小于90的角一定

5、是锐角.( ) (2)第二象限角一定比第一象限角大.( ) (3)第四象限角可以是负角.( ) (4)180角和-180角终边相同.( ) (5)第二象限角是钝角.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A.60,720 B.-60,-720 C.-30,-360 D.-60,720 解析:钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感

6、悟 确定任意角的方法: (1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角. (2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是( ) A.120 B.-120 C.240 D.-240 解析:一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是-240,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 (1)分别判断角=-130和=-940是第几象限角; (2)若角是第二象限角,试判断180-及2是第几象限角. 分

7、析(1)可通过终边相同的角将其转化为0360范围内的角进行判断;(2)先确定的范围,再写出180-,2的范围,根据范围判断所在象限.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)由于=-130=-360+230,即角与230角终边相同,而230角是第三象限角,故是第三象限角. 由于=-940=-3360+140,即角与140角终边相同,而140角是第二象限角,故是第二象限角. (2)由是第二象限角可得,90+k360180+k360(kZ), 所以180-(180+k360)180-180-(90+k360)(kZ), 即-k360180-90-k360(kZ). 所以180-是第一象限角.

8、同理,180+2k3602360+2k360(kZ), 所以角2可能是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴的非正半轴上.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 象限角的判断方法: (1)根据图形判定,在平面直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角. (2)根据终边相同的角的概念,把角转化到0360范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角. (3)先根据已知条件得出角的范围,再在这个范围内判断角所在的象限.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:是第三象限角, k360+180k

9、360+270(kZ). 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】 已知角=2 016. (1)把改写成k360+(kZ,0360)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求,使与终边相同,且-360720. 分析(1)先求出,再判断角所在的象限;(2)用终边相同的角表示满足的不等关系,求出k和.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)由2 016除以360,得商为5,余数为216. 取k=5,=216,=5360+216. 又=216是第三象限角, 为第三象限角. (2)与2 016终边相同的角为k360+2 016(kZ). 令-360k360+2 016720(kZ),

10、k=-6,-5,-4. 将k的值代入k360+2 016中, 得角的值为-144,216,576.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 对终边相同的角的理解: 与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ.理解集合S=|=+k360,kZ要注意以下几点: (1)式中的角为任意角; (2)终边相同的角有无数个,它们的度数相差360的整数倍.在求终边相同的角的问题时,关键是先找到一个与其终边相同的角(一般找0360的角),再用集合语言和符号语言表示出来; (3)“kZ”这一条件必不可少; (4)k360与之间是“+”,如k360-30应看成k360+(-30),即与-30角终边相同的角

11、; (5)终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,若将例题中“角=2 016”改为“=-315”,其他条件不变,结果如何? 解:(1)=-360+45, 是第一象限角. (2)与-315终边相同的角为k360-315(kZ), 令-360k360-315720(kZ), 将k值代入k360-315中,得所求值为-315,45,405.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对任意角的概念不清导致角的范围写错 【典例】 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合. 错解一终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ), 所

12、以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+30k360+150,kZ.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,错解二终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ), 所以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+150k360+30,kZ. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范? 提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集. 正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为=30+k360,kZ,终边为OB的角为=-210+k360,kZ.所以终边在阴影部分内的角的集合

13、为|-210+k36030+k360,kZ.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,防范措施1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并. 2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.,1,2,3,4,5,1.下列叙述正确的是( ) A.三角形的内角必是第一或第二象限角 B.始边相同而终边不同的角一定不相等 C.第四象限角一定是负角 D.钝角比第三象限角小 解析:90角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,故D错. 答案:B,1,2,3,4,5,2.把-1

14、485化成k360+(0360,kZ)的形式是( ) A.315-5360 B.45-4360 C.-315-4360 D.-45-10180 解析:0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确. 答案:A,1,2,3,4,5,3.给出下列四个命题:-75角是第四象限角;245角是第三象限角;475角是第二象限角;-300角是第一象限角,其中真命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由于-90-750,故-75角为第四象限角;由于180245270,故245角是第三象限角;由于360+90475360+180,故475角是第二象限角;由于-360-300-270,故-300角是第一象限角,所以均为真命题. 答案:D,1,2,3,4,5,4.与-2 016角终边相同的最小正角是 . 解析:-2 016=-6360+144,所求值为144. 答案:144,1,2,3,4,5,5.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合. 解:以OA为终边的角为75+k360(kZ),以OB为终边的角为k360-30(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|k360-30k360+75,kZ.,